1re

Dérivée produit/quotient

Ce quiz comporte 6 questions


moyen

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1re - Dérivée produit/quotient1

Soit nn un entier naturel non nul et ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=(xn+1)(xn−1) f(x) = (x^n+1)(x^n - 1)

f′(1)=n2f^{\prime}(1) = n^2

VRAIFAUX
1re - Dérivée produit/quotient1
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1re - Dérivée produit/quotient1
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1re - Dérivée produit/quotient1

C'est faux.

Le plus simple, ici, est de développer ff en utilisant une identité remarquable :

f(x)=(xn+1)(xn−1)=(xn)2−1 f(x) = (x^n+1)(x^n - 1) = (x^n)^2 - 1 =x2n−1=x^{2n} - 1

Donc :

f′(x)=2nx2n−1 f^{\prime}(x) = 2n x^{2n - 1}

Par conséquent : f′(1)=2n.f^{\prime}(1) = 2n.

ÉnoncéQuestion suivante
1re - Dérivée produit/quotient2

Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.

On pose : g(x)=x2×f(x) g(x) = x^2 \times f(x)

g′(0)=0.g^{\prime}(0)=0.

VRAIFAUX
1re - Dérivée produit/quotient2
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1re - Dérivée produit/quotient2
ExplicationsQuestion suivante
1re - Dérivée produit/quotient2

C'est vrai.

On pose u(x)=x2 u(x) = x^2 et v(x)=f(x). v(x) = f(x).

Alors : u′(x)=2xu^{\prime}(x) = 2x et v′(x)=f′(x). v^{\prime}(x) = f^{\prime}(x).

Par conséquent :

g′(x)=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)g^{\prime}(x) = u^{\prime}(x)v(x) + u(x)v^{\prime}(x) =2xf(x)+x2f′(x) = 2xf(x) + x^2f^{\prime}(x)

Donc g′(0)=2×0×f(0)+02×f′(0)=0. g^{\prime}(0) = 2 \times 0 \times f(0) + 0^2 \times f^{\prime}(0) = 0.

ÉnoncéQuestion suivante
1re - Dérivée produit/quotient3

Soit la fonction ff définie sur R\{1}\mathbb{R} \backslash \{ 1\} par :

f(x)=x2+1x−1 f(x) = \frac{ x^2+1 }{ x - 1 }

ff est dérivable sur R\{1}\mathbb{R} \backslash \{ 1\} et f′(x)=x2−2x+1(x−1)2. f^{\prime}(x) = \frac{ x^2 - 2x+1 }{ (x - 1)^2 }.

VRAIFAUX
1re - Dérivée produit/quotient3
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1re - Dérivée produit/quotient3
ExplicationsQuestion suivante
1re - Dérivée produit/quotient3

C'est faux.

On pose u(x)=x2+1 u(x) = x^2+1 et v(x)=x−1 v(x) = x - 1 .

Alors : u′(x)=2x u^{\prime}(x) = 2x et v′(x)=1. v^{\prime}(x) = 1.

Par conséquent :

f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2 f^{\prime}(x) = \frac{ u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\prime}(x) }{ v(x)^2 }

=2x(x−1)−(x2+1)(x−1)2 = \frac{ 2x(x - 1) - (x^2+1) }{(x - 1)^2 } =x2−2x−1(x−1)2 = \frac{x^2 - 2x \red{ - }1 }{ (x - 1)^2 }

ÉnoncéQuestion suivante
1re - Dérivée produit/quotient4

Soit la fonction ff définie sur R\{0}\mathbb{R} \backslash \{ 0\} par :

f(x)=x+1x f(x) = \frac{ x+1 }{ x }

Pour la fonction f f , un élève a dressé ce tableau de variations :

tableau de variation fonction inverse

Le tableau de variations proposé est correct.

VRAIFAUX
1re - Dérivée produit/quotient4
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1re - Dérivée produit/quotient4
ExplicationsQuestion suivante
1re - Dérivée produit/quotient4

C'est vrai.

On pose u(x)=x+1 u(x) = x+1 et v(x)=x. v(x) = x.

Alors : u′(x)=v′(x)=1.u^{\prime}(x) = v^{\prime}(x) = 1.

Par conséquent :

f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2 f^{\prime}(x) = \frac{ u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\prime}(x) }{ v(x)^2 }

=x−(x+1)x2=−1x2 = \frac{ x - (x + 1) }{x^2 } = \frac{ - 1 }{ x^2 }

f′ f^{\prime} est strictement négative sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[ \left] - \infty~;~0 \right[ et ]0 ; +∞[. \left] 0~;~+\infty \right[.

ff est donc décroissante sur ces intervalles et le tableau de variations est correct.

ÉnoncéQuestion suivante
1re - Dérivée produit/quotient5

Soit la fonction ff définie sur R\{2}\mathbb{R} \backslash \{ 2\} par :

f(x)=x−1x−2 f(x) = \frac{ x - 1 }{ x - 2 }

La fonction ff est strictement décroissante sur l'intervalle ]2 ; +∞[. \left] 2~;~+\infty \right[.

VRAIFAUX
1re - Dérivée produit/quotient5
RéponseQuestion suivante
1re - Dérivée produit/quotient5
ExplicationsQuestion suivante
1re - Dérivée produit/quotient5

C'est vrai.

On pose u(x)=x−1 u(x) = x - 1 et v(x)=x−2 v(x) = x - 2 .

Alors : u′(x)=1 u^{\prime}(x) = 1 et v′(x)=1. v^{\prime}(x) = 1.

Par conséquent :

f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2 f^{\prime}(x) = \frac{ u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\prime}(x) }{ v(x)^2 }

=(x−2)−(x−1)(x−2)2=−1(x−2)2 = \frac{ (x - 2) - (x - 1) }{(x - 2)^2 } = \frac{ - 1 }{ (x - 2)^2 }

f′ f^{\prime} est strictement négative sur l'intervalle ]2 ; +∞[ \left] 2~;~+\infty \right[
donc ff est strictement décroissante sur cet intervalle.

ÉnoncéQuestion suivante
1re - Dérivée produit/quotient6

Soit mm un nombre réel et ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=x2+mx2+1 f(x) = \frac{ x^2 + m }{ x^2 + 1 }

Pour m<1 m < 1, la fonction ff est croissante sur ]0 ; +∞[ \left] 0~;~+\infty \right[

VRAIFAUX
1re - Dérivée produit/quotient6
RéponseBilan
1re - Dérivée produit/quotient6
ExplicationsBilan
1re - Dérivée produit/quotient6

C'est vrai.

Posons u(x)=x2+m u(x) = x^2 + m et v(x)=x2+1 v(x) = x^2 + 1 .

On obtient : u′(x)=2x u^{\prime}(x) = 2x et v′(x)=2x. v^{\prime}(x) = 2x.

Alors :

f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2 f^{\prime}(x) = \frac{ u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v^{\prime}(x) }{ v(x)^2 }

=2x(x2+1)−2x(x2+m)(x2+1)2 = \frac{ 2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 +m) }{(x^2 + 1)^2 } =2x(1−m)(x2+1)2 = \frac{ 2x(1 - m) }{ (x^2 + 1)^2 }

Pour m<1 m < 1 et x>0 x > 0  : f′(x)>0 f^{\prime}(x) > 0  ;
donc ff est croissante sur l'intervalle ]0 ; +∞[ \left] 0~;~+\infty \right[ pour m<1. m < 1.

ÉnoncéBilan
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