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Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction

Méthode

En seconde et en première, seuls 3 types d'expressions posent problème :

  • 1er cas : L'expression de ff est de la forme f(x)=NDf\left(x\right)=\frac{N}{D}

    ff est définie lorsque D≠0D\neq 0 (on ne peut pas diviser par zéro)

  • 2ème cas : L'expression de ff est de la forme f(x)=Rf\left(x\right)=\sqrt{R}

    ff est définie lorsque R⩾0R\geqslant 0 (la racine carrée n'existe que pour des nombres positifs ou nuls)

  • 3ème cas : L'expression de ff est de la forme f(x)=NRf\left(x\right)=\frac{N}{\sqrt{R}}

    ff est définie lorsque R>0R > 0 (c'est une combinaison des 2 cas précédents...)

  Dans les autres cas étudiés en seconde et en première, les fonctions sont en général définies sur R\mathbb{R}, c'est à dire qu'on peut calculer l'image de n'importe quel nombre réel.

Exemple 1

Donner l'ensemble de définition de la fonction f:x↦x+2x−3f : x \mapsto \frac{x+2}{x - 3}

ff est définie si et seulement si le dénominateur est différent de 0.

(Attention : le numérateur, lui, peut très bien être nul, cela ne pose pas de problème ! )

Or x−3≠0x - 3 \neq 0 si et seulement si x≠3x\neq 3

Donc ff est définie pour toutes les valeurs de xx différentes de 3. On écrit Df=R\{3}D_{f} = \mathbb{R}\backslash\left\{3\right\} ou encore Df=]−∞;3[∪]3;+∞[D_{f}=\left] - \infty ; 3\right[ \cup \left]3 ; +\infty \right[

Exemple 2

Donner l'ensemble de définition de la fonction f:x↦x−1f : x \mapsto \sqrt{x - 1}

ff est définie si et seulement si l'expression située sous le radical est positive ou nulle.

C'est à dire, ici, si et seulement si x−1⩾0x - 1\geqslant 0 donc x⩾1x\geqslant 1.

L'ensemble de définition est donc Df=[1;+∞[D_{f}=\left[1 ; +\infty \right[

L'intervalle est fermé en 11 car xx peut prendre la valeur 11.

Exemple 3

Donner l'ensemble de définition de la fonction f:x↦x+33x−2f : x \mapsto \frac{x+3}{\sqrt{3x - 2}}

On est ici dans le troisième cas avec un radical au dénominateur.

ff est définie si et seulement si l'expression située sous le radical est strictement positive.

C'est à dire, ici, si et seulement si 3x−2>03x - 2 > 0. Donc si et seulement si 3x>23x > 2, c'est à dire x>23x > \frac{2}{3}.

L'ensemble de définition est donc Df=]23;+∞[D_{f}=\left]\frac{2}{3} ; +\infty \right[

L'intervalle est ouvert en 23\frac{2}{3} car xx ne peut pas prendre la valeur 23\frac{2}{3}.

Remarque

Parfois, un intervalle d'étude plus restreint est proposé dans l'énoncé. Par exemple :

Enoncé

Soit la fonction ff définie sur ]3;+∞[\left]3 ; +\infty \right[ par f(x)=x+2x−3f\left(x\right)=\frac{x+2}{x - 3}

etc.

On a vu dans l'exemple 1, que l'on pouvait définir ff sur ]−∞;3[∪]3;+∞[\left] - \infty ; 3\right[ \cup \left]3 ; +\infty \right[ mais ici l'auteur du sujet a choisi de restreindre l'ensemble de définition (par exemple pour simplifier les questions qui suivent... ).

Il faut, bien entendu, suivre les indications de l'énoncé dans ce cas...

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