Dresser un tableau de signes (en Seconde)

1 - Premier degré : Tableau de signes de ax+b

Rappels

Une fonction de la forme $x \longmapsto ax+b$ est une fonction affine.
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
$a$ s'appelle le coefficient directeur de la droite
La fonction est croissante si le coefficient directeur est positif et décroissante s'il est négatif.

Méthode

On recherche la valeur qui annule $ax+b$ . Cette valeur est $- \frac{b}{a}$ mais en général, plutôt que d'apprendre par cœur ce résultat, il est plus simple de résoudre directement l'équation $ax+b=0$
On dresse le tableau de signes en inscrivant la solution trouvée sur la première ligne (correspondant à $x$ ) et en indiquant le $0$ sur la seconde ligne (correspondant à $ax+b$ )
On place les signes dans l'ordre suivant :
- Si le coefficient directeur $a$ est positif : - 0 +
- Si le coefficient directeur $a$ est négatif : + 0 -

Remarque

On peut retenir l'ordre des signes grâce au raisonnement suivant :

si le coefficient directeur $a$ est positif, la fonction est croissante donc d'abord négative puis positive.
si le coefficient directeur $a$ est négatif, la fonction est décroissante donc d'abord positive puis négative.

Exemple 1

Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x - 4$

On recherche la valeur qui annule $2x - 4$ :

$2x - 4 = 0 \Leftrightarrow 2x=4$

$\phantom{2x - 4 = 0 } \Leftrightarrow x=\frac{4}{2}$

$\phantom{2x - 4 = 0 } \Leftrightarrow x=2$
On dresse le tableau de signes :

$Exemple tableau de signe 1$
On place les signes :

Ici le coefficient directeur est $a=2$ donc positif.

L'ordre des signes est donc - 0 +

On obtient le tableau final :

$Exemple tableau de signe 1$

Exemple 2

Dresser le tableau de signes de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=3 - x$

On recherche la valeur qui annule $3 - x$ :

$3 - x = 0 \Leftrightarrow 3=x$

$\phantom{2x - 4 = 0 } \Leftrightarrow x=3$
On dresse le tableau de signes :

$Exemple tableau de signe 1$
On place les signes : Attention ici à l'inversion de l'ordre des termes. Le coefficient directeur est $a= - 1$ donc négatif. En effet, $3 - x= - 1\times x+3$ .

L'ordre des signes est donc + 0 -

Le tableau complet est alors :

$Exemple tableau de signe 1$

2 - Produit de facteurs du premier degré

Remarque

Lorsque l'on cherche à étudier le signe d'un produit de facteurs, on évitera surtout de développer l'expression.

Au contraire si l'on a affaire à une expression développée, on essaiera de la factoriser (en recherchant un facteur commun ou une identité remarquable...)

Méthode

On recherche les valeurs qui annulent chacun des facteurs
On dresse le tableau de signes en plaçant un facteur par ligne et en réservant une ligne pour le produit. Puis, on inscrit les valeurs trouvées précédemment et les $0$ sur les lignes correspondantes
On place les signes comme indiqué dans le paragraphe précédent.
On complète enfin la dernière ligne (produit) en utilisant la règle des signes de la multiplication vue au collège.

Dès qu'un facteur est nul, le produit est nul ; par conséquent, on obtiendra $0$ pour chaque « séparation verticale » de la dernière ligne du tableau.

Exemple 3

Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(3+x)( - 2x+6)$

On recherche les valeurs qui annulent chacun des facteurs :

$3+x = 0 \Leftrightarrow x= - 3$

$- 2x+6 = 0 \Leftrightarrow - 2x= - 6$

$\phantom{ - 2x+6 = 0 } \Leftrightarrow x=\frac{ - 6}{ - 2}$

$\phantom{ - 2x+6 = 0 } \Leftrightarrow x=3$
On dresse le tableau de signes :

$Exemple tableau de signes d'un produit$
On place les signes :

Le coefficient directeur de $x+3$ est $1$ donc positif.

L'ordre des signes pour $x+3$ est donc - 0 +

Le coefficient directeur de $- 2x+6$ est $- 2$ donc négatif.

L'ordre des signes pour $- 2x+6$ est donc + 0 -

On complète le tableau ainsi :

$Exemple tableau de signes d'un produit$
On complète enfin la dernière ligne en utilisant la règle des signes :

$Exemple tableau de signes d'un produit$

Exemple 4

Dresser le tableau de signes de l'expression $x^3 - x$ .

L'expression $x^3 - x$ est sous forme développée. Il faut donc d'abord la factoriser.

On factorise d'abord $x$ :

$x^3 - x=x(x^2 - 1)$

Puis on utilise l'identité remarquable : $x^2 - 1=(x - 1)(x+1)$

$x^3 - x=x(x - 1)(x+1)$

On recherche alors les valeurs qui annulent chacun des facteurs :

$x = 0 \Leftrightarrow x=0$ (hé oui !!!)

$x - 1= 0 \Leftrightarrow x=1$

$x +1= 0 \Leftrightarrow x= - 1$
On peut commencer à dresser le tableau de signes :

$Exemple tableau de signes d'un quotient$
On place les signes :

Pour chaque facteur, le coefficient directeur est $1$ donc positif.

L'ordre des signes sera donc pour chaque ligne - 0 +

$Exemple tableau de signes d'un quotient$
On termine en utilisant la règle des signes :

$Exemple tableau de signes d'un quotient$

3 - Signe d'un quotient

Méthode

La méthode est similaire à celle du paragraphe précédent à une exception près:

Il faut étudier l'ensemble de définition du quotient. En effet, pour que le quotient soit défini, il faut que son dénominateur soit différent de $0$ .

Les valeurs « interdites » seront symbolisées par une double barre verticale sur la dernière ligne du tableau.

Exemple 5

Dresser le tableau de signes de l'expression $\frac{1 - x}{3x+12}$ .

L'expression $\frac{1 - x}{3x+12}$ est définie si et seulement si $3x+12$ est différent de 0.

Or :

$3x+12=0 \Leftrightarrow 3x= - 12$

$\phantom{3x+12=0 }\Leftrightarrow x=\frac{ - 12}{3}$

$\phantom{3x+12=0 }\Leftrightarrow x= - 4$

Donc l'expression $\frac{1 - x}{3x+12}$ est définie sur $\mathbb{R} \backslash \{ - 4\}$ . (si nécessaire, revoir la fiche : Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction)

Ensuite, on procède comme précédemment :

$1 - x = 0 \Leftrightarrow x=1$

$3x+12=0 \Leftrightarrow x= - 4$ (on vient de le faire !)
On dresse le tableau de signes :

$Exemple tableau de signes d'un quotient$
On place les signes :

$1 - x$ : coefficient directeur $- 1$ (négatif) donne + 0 -

$3x+12$ : coefficient directeur $3$ (positif) donne - 0 +

$Exemple tableau de signes d'un quotient$
On termine en faisant attention à bien placer une double barre pour $x= - 4$ , valeur qui entraînerait une division par 0 (par contre, $1$ n'est pas une valeur interdite car le numérateur peut très bien être nul !).

$Exemple tableau de signes d'un quotient$

Méthode

Une utilisation courante des tableaux de signes est la résolution d'inéquations.

La fiche méthode Inéquation avec quotients décrit la démarche à suivre dans ce cas.

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1 - Premier degré : Tableau de signes de ax+b

Rappels

Méthode

Remarque

Exemple 1

Exemple 2

2 - Produit de facteurs du premier degré

Remarque

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Exemple 3

Exemple 4

3 - Signe d'un quotient

Méthode

Exemple 5

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