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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Vecteurs et cercles sécants

C \mathscr{C} et C \mathscr{C}^{\prime} sont deux cercles de même rayon sécants en deux points distincts AA et BB.

[AP] [AP] et [BQ] [BQ] sont des diamètres du cercle C \mathscr{C} et [AR] [AR] et [BS] [BS] des diamètres du cercle C. \mathscr{C}^{\prime}.

cercles sécants

  1. Quelle est la nature du quadrilatère AJBI AJBI  ?

    Justifier votre réponse.

  2. Quelle est la nature du quadrilatère ABPQ ABPQ  ?

    Justifier votre réponse.

  3. Montrer que AI=IP. \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ IP }.

  4. En déduire que IPBJ IPBJ est un parallélogramme.

    De même, montrer que IBRJ IBRJ est un parallélogramme.

  5. Montrer que BB est le milieu de [PR]. [PR].

Corrigé

  1. [AI] [AI] et [BI] [BI] sont deux rayons du cercle C \mathscr{C} et [AJ] [AJ] et [BJ] [BJ] sont deux rayons du cercle C \mathscr{C}^{\prime} .

    Les deux cercles ayant le même rayon : AI=BI=AJ=BJ AI=BI=AJ=BJ . Par conséquent, AIBJ AIBJ est un losange.

  2. [AP] [AP] et [BQ] [BQ] , les diagonales du quadrilatère ABPQ ABPQ , sont deux diamètres du cercle C \mathscr{C} .

    Ces diagonales sont donc de même longueur et elles se coupent en leur milieu.

    Par conséquent, ABPQ ABPQ est un rectangle.

  3. II est le milieu du segment [AP] [AP] donc AI=IP. \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ IP }.

  4. AJBI AJBI est un losange donc c'est également un parallélogramme.

    Par conséquent : AI=JB. \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ JB }.

    Or, d'après la question précédente AI=IP. \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ IP }. On en déduit que JB=IP. \overrightarrow{ JB } = \overrightarrow{ IP }. et donc que IPBJ IPBJ est un parallélogramme.

    La démonstration est analogue pour IBRJ IBRJ  :

    IB=AJ=JR, \overrightarrow{ IB } = \overrightarrow{ AJ } = \overrightarrow{ JR },

    donc IBRJ IBRJ est un parallélogramme.

  5. Puisque IPBJ IPBJ est un parallélogramme : PB=IJ. \overrightarrow{ PB } = \overrightarrow{ IJ }.

    Puisque IBRJ IBRJ est un parallélogramme : BR=IJ. \overrightarrow{ BR } = \overrightarrow{ IJ }.

    Par conséquent, PB=BR \overrightarrow{ PB } = \overrightarrow{ BR } donc BB est le milieu du segment [PR]. [PR].