Utilisation d'une suite annexe

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :

$u_{0}=1$ et pour tout entier $n$ , $u_{n+1}= \frac{1}{2} u_{n} - 1$ .

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ . La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle arithmétique? géométrique ?
On pose $v_{n}=u_{n}+2$ .
1. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ . Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
3. En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Corrigé

$u_{1}=\frac{1}{2}u_{0} - 1= - \frac{1}{2}$

$u_{2}=\frac{1}{2}u_{1} - 1= - \frac{5}{4}$

La suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
1. $v_{n+1}=u_{n+1}+2$ (définition de la suite $v_{n}$ )
  
  $v_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n} - 1+2=\frac{1}{2}u_{n}+1$ (car $u_{n+1}= \frac{1}{2} u_{n} - 1$ )
  
  $v_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+2\right)=\frac{1}{2}v_{n}$
  
  $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ .
  
  Son premier terme est $v_{0}=u_{0}+2=3$ .
2. $v_{n}=v_{0}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}=3\times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
3. $u_{n}=v_{n} - 2=3\times \left(\frac{1}{2}\right)^{n} - 2$