Théorème des restes chinois

On recherche l'ensemble $S$ des entiers naturels $n$ qui divisés par 5 donnent un reste égal à 3 et divisés par 7 donnent un reste égal à 2.

Traduire les conditions de l'énoncé à l'aide de congruences.
On pose $n=5p+3$ et $n=7q+2$ .
1. Montrer que $p$ et $q$ vérifient l'équation (E) : $7q - 5p=1$
2. Pourquoi l'équation (E) admet-t-elle des solutions dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ ?
3. Trouver une solution de (E) dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ .
4. En déduire l'ensemble des solutions de (E) dans $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ .
En déduire l'ensemble $S$

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