Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Th. de Thalès (Brevet 2013)

(D'après Brevet Centres étrangers 2013)

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

On considère la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur.

Courbe représentative de f

BCDEBCDE est un carré de 66 cm de côté.

Les points AA, BB et CC sont alignés et AB=3AB=3cm.

FF est un point du segment [CD]\left[CD\right].

La droite (AF)\left(AF\right) coupe le segment [BE]\left[BE\right] en MM.

Déterminer la longueur CFCF pour que les longueurs BMBM et FDFD soient égales.

Corrigé

Notons x=CFx=CF.

Comme les points C,FC, F et DD sont alignés :

FD=CDCF=6xFD=CD-CF=6-x \qquad (1)

Comme BCDEBCDE est un carré, les droites (BE)\left(BE\right) et (CD)\left(CD\right) sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès :

ABAC=AMAF=BMCF\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AF}=\frac{BM}{CF}

39=AMAF=BMx\frac{3}{9}=\frac{AM}{AF}=\frac{BM}{x}

De l'égalité 39=BMx\frac{3}{9}=\frac{BM}{x}, on déduit :

BM=3x9=x3BM=\frac{3x}{9}=\frac{x}{3} \qquad (2)

En utilisant les égalités (1) et (2), on peut dire que les longueurs FDFD et BMBM sont donc égales lorsque :

6x=x36-x=\frac{x}{3}

6=x3+x6=\frac{x}{3}+x

6=43x6=\frac{4}{3}x

43x=6\frac{4}{3}x=6

x=6×34x=6\times \frac{3}{4}

x=4,5x=4,5

Les longueurs BMBM et FDFD sont donc égales lorsque CFCF vaut 4,54,5cm.