Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Somme de variables aléatoires - indépendance

Une urne contient quatre boules indiscernables numérotées de 1 à 4.
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de cette urne.

On note :

  1. Représenter cette expérience à l'aide d'un arbre pondéré.

  2. Donner, sous forme d'un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire X1X_1.

  3. En utilisant l'arbre de la question 1., calculer p(X2=1),p(X2=2) p(X_2 =1), p(X_2 =2) et p(X2=3). p(X_2 =3).

  4. Que vaut p((X1=1)(X2=2)) p((X_1=1) \cap (X_2=2)) ?
    Les variables X1 X_1 et X2 X_2 sont-elles indépendantes ?

    1. À l'aide d'une phrase, décrire ce que représente la variable aléatoire YY dans le cadre de l'exercice.

    2. Déterminer l'espérance mathématique des variables aléatoires X1,X2 X_1, X_2 et YY.

    1. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire YY.

    2. Retrouver l'espérance mathématique de YY obtenue à la question 5..

    1. Calculer les variances V(X1),V(X2) V(X_1), V(X_2) et V(Y) V(Y).

    2. A-t-on V(Y)=V(X1)+V(X2) ? V(Y) = V(X_1) + V(X_2)~?

Corrigé

  1. Dans l'arbre ci-dessous les événements X1=1,X1=2,X1=3 X_1=1, X_1=2, X_1=3 ont été représenté par 1,2,3 \red1, \red2, \red3 et les événements X2=1,X2=2,X2=3 X_2=1, X_2=2, X_2=3 par 1,2,3 \blue1, \blue2, \blue3 :

    Arbre pondéré

  2. X1 X_1 suit la loi représentée par le tableau :

    xi x_i 1 2 3
    p(X1=xi) p(X_1= x_i) 13 \dfrac{ 1 }{ 3 } 13 \dfrac{ 1 }{ 3 } 13 \dfrac{ 1 }{ 3 }

  3. D'après la formules des probabilités totales :

    p(X2=1)=p((X1=2)(X2=1))+p((X1=3)(X2=1))=12×13+12×13=13 \begin{aligned} p(X_2=1) &= p((X_1=2) \cap (X_2=1)) + p((X_1=3) \cap (X_2=1)) \\ \\ &= \dfrac{ 1 }{ 2 } \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + \dfrac{ 1 }{ 2 } \times \dfrac{ 1 }{ 3 } \\ \\ &= \dfrac{ 1 }{ 3 } \end{aligned}
    Un calcul analogue donne p(X2=2)=p(X2=3)=13 p(X_2=2) = p(X_2=3) = \dfrac{ 1 }{ 3 }

  4. D'après l'arbre on trouve que :

    p((X1=1)(X2=2))=13×12=16 p((X_1=1) \cap (X_2=2)) = \dfrac{ 1 }{ 3 } \times \dfrac{ 1 }{ 2 } = \dfrac{ 1 }{ 6}

    tandis que :
    p(X1=1)×p(X2=2)=13×13=19 p(X_1=1) \times p(X_2=2) = \dfrac{ 1 }{ 3 } \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 1 }{ 9}

    Comme p((X1=1)(X2=2))p(X1=1)×p(X2=2) p((X_1=1) \cap (X_2=2)) \neq p(X_1=1) \times p(X_2=2) , les variables X1 X_1 et X2 X_2 ne sont pas indépendantes.

    1. La variable aléatoire YY représente la somme des nombres inscrits sur les deux boules.

    2. E(X1)=1×13+2×13+3×13=2 E(X_ 1) = 1 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 3 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = 2

      De même :
      E(X2)=1×13+2×13+3×13=2 E(X_ 2) = 1 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 3 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = 2

      Par conséquent :

      E(Y)=E(X1)+E(X2)=2+2=4 E(Y) = E(X_ 1)+E(X_ 2) = 2+2 = 4
      (la formule E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) E(X_ 1 + X_ 2) = E(X_ 1)+E(X_ 2) est valable même si les deux variables aléatoires ne sont pas indépendantes.)

    1. La variable aléatoire YY peut prendre les valeurs entières comprises entre 33 et 5 5 .

      À l'aide de l'arbre et d'un raisonnement similaire à celui de la question 4., on obtient le tableau :

      yi y_i 3 4 5
      p(Y=yi) p(Y= y_i) 13 \dfrac{ 1 }{ 3 } 13 \dfrac{ 1 }{ 3 } 13 \dfrac{ 1 }{ 3 }

    2. On retrouve bien alors :

      E(Y)=3×13+4×13+5×13=4 E(Y) = 3 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 4 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 5 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = 4

    1. D'après la formule de la variance :

      V(X1)=E(X12)E(X1)2 V(X_1) = E(X_1^2) - E(X_1)^2

      Or :
      E(X12)=12×13+22×13+32×13=143 E(X_1^2) = 1^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 2^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 3^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 14 }{ 3 }

      par conséquent :

      V(X1)=14322=23. V(X_1) = \dfrac{ 14 }{ 3 } - 2^2 = \dfrac{ 2 }{ 3 }.

      Le calcul et le résultat sont identiques pour X2 X_2 donc V(X2)=23. V(X_2) = \dfrac{ 2 }{ 3 }.

      Pour YY on obtient :

      E(Y2)=32×13+42×13+52×13=503 E(Y^2) = 3^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 4^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } + 5^2 \times \dfrac{ 1 }{ 3 } = \dfrac{ 50 }{ 3 }

      et :

      V(Y)=50342=23 V(Y) = \dfrac{ 50 }{ 3 } - 4^2 = \dfrac{ 2 }{ 3 }

    2. On voit que V(Y)V(X1)+V(X2) V(Y) \neq V(X_1) + V(X_2) , ce qui confirme le fait que X1 X_1 et X2 X_2 ne sont pas indépendantes.