Cuboctaèdre

On considère un cube $ABCDEFGH$ de $10$ cm d'arête. Soient $I$ le milieu de $[AB]$ , $J$ celui de $[BC]$ et $K$ celui de $[BF]$ .

Cuboctaèdre

1. Calculer $IJ$ .
2. Démontrer que $IJK$ est un triangle équilatéral, puis calculer son aire.
3. Calculer le volume de la pyramide $BIJK$ ; en déduire, en centimètres, la hauteur issue de $B$ de cette pyramide.
A partir des 8 sommets du cube, on peut former 8 pyramides, comme cela a été fait à partir du sommet $B$ . Après avoir découpé ces 8 pyramides, on obtient un nouveau solide, appelé cuboctaèdre.
1. Soit $M$ le milieu de $[AE]$ et $N$ celui de $[EF]$ . Quelle est la nature du quadrilatère $MNKI$ ?
  
  Calculer l'aire de ce quadrilatère.
2. Donner une description du cuboctaèdre : nombre et nature des faces, nombre de sommets et d'arêtes.
  
  Si S, A et F sont respectivement le nombre de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre, la formule d'Euler affirme que : S+F=A+2
  
  La formule d'Euler est-elle vérifiée?
3. Dessiner un patron du cuboctaèdre.
4. A partir du volume du cube, calculer le volume du cuboctaèdre.
  
  Calculer le rapport entre ces 2 volumes ?

Corrigé

1. Employez le théorème de Pythagore dans le triangle $BIJ$
2. Calculez la longueur de chacun des côtés. Pour l'aire, calculez d'abord la hauteur du triangle équilatéral (si vous ne connaissez pas la formule, utilisez la trigonométrie).
3. volume=aire de la base x hauteur / 3
  
  Utilisez cette formule de 2 manières différentes en changeant de base pour trouver une équation donnant la hauteur de la pyramide.
1. N'oubliez pas de montrer qu'il y a un angle droit!
2. S=12; F=14; A=24. La formule d'Euler est bien vérifiée.
3. Patron :
4. Il suffit de retrancher le volume de chacun des "coins" au volume du cube.