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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Révisions Fonctions - Bac ES Amérique du Nord 2008

Exercice 1

(4 points) Commun à tous les candidats

ff est une fonction définie sur ]2;+[\left] - 2 ; +\infty \right[ par :

f(x)=3+1x+2f\left(x\right)=3+\frac{1}{x+2}

On note ff^{\prime} sa fonction dérivée et (C) la représentation graphique de ff dans le plan rapporté à un repère.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la bonne réponse.

Aucune justification n'est demandée.

Barème : Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

  1. f(x)=3x+6x+2f\left(x\right)=\frac{3x+6}{x+2}

    ◊   VRAI

    ◊   FAUX

  2. La courbe (C) coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 3,5.

    ◊   VRAI

    ◊   FAUX

  3. lim(x2;x>2)f(x)=3\lim\left(x \rightarrow - 2 ; x > - 2\right) f\left(x\right)=3

    ◊   VRAI

    ◊   FAUX

  4. 02f(x)dx=6+ln2 \int_{0}^{2} f\left(x\right) \text{d}x=6+\ln 2

    ◊   VRAI

    ◊   FAUX

  5. La droite d'équation y=3y=3 est asymptote à (C).

    ◊   VRAI

    ◊   FAUX

  6. f(x)>3f\left(x\right) > 3 pour tout xx de ]2;+[\left] - 2; +\infty \right[.

    ◊   VRAI

    ◊   FAUX

  7. f(1)=1f^{\prime} \left( - 1\right)= - 1

    ◊   VRAI

    ◊   FAUX

  8. La fonction gg définie sur ]2;+[\left] - 2 ; +\infty \right[ par g(x)=ln[f(x)]g\left(x\right)=\ln\left[f\left(x\right)\right] est décroissante.

    ◊   VRAI

    ◊   FAUX

Corrigé

Corrigé

  1. f(x)=3x+6x+2f\left(x\right)=\frac{3x+6}{x+2}

    FAUX

    f(x)=3(x+2)+1x+2=3x+7x+2f\left(x\right)=\frac{3\left(x+2\right)+1}{x+2}=\frac{3x+7}{x+2}

  2. La courbe (C) coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 3,5.

    VRAI

    La courbe coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée :

    f(0)=3+12=3,5f\left(0\right)=3+\frac{1}{2}=3,5

  3. lim(x2;x>2)f(x)=3\lim\left(x \rightarrow - 2 ; x > - 2\right) f\left(x\right)=3

    FAUX

    lim(x2;x>2)=0\lim\left(x \rightarrow - 2 ; x > - 2\right)=0 et x+2>0x+2 > 0 pour x>2x > - 2 donc lim(x2;x>2)1x+2=+\lim\left(x \rightarrow - 2 ; x > - 2\right)\frac{1}{x+2}=+\infty et :

    lim(x2;x>2)f(x)=+\lim\left(x \rightarrow - 2 ; x > - 2\right)f\left(x\right)=+\infty

  4. 02f(x)dx=6+ln2\int_{0}^{2} f\left(x\right) `dx=6+\ln 2

    VRAI

    Si x > -2 :

    02(3+1x+2)dx=[3x+ln(x+2)]02=6+ln4ln2=6+ln42=6+ln2\int_{0}^{2}\left(3+\frac{1}{x+2}\right)dx=\left[3x+\ln\left(x+2\right)\right]_{0}^{2}=6+\ln4 - \ln2=6+\ln\frac{4}{2}=6+\ln2

  5. La droite d'équation y=3y=3 est asymptote à (C).

    VRAI

    lim(x+)1x+2=0\lim \left(x\rightarrow +\infty \right)\frac{1}{x+2}=0 donc limx+f(x)=3\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)=3

    Donc la droite d'équation y=3y=3 est asymptote à la courbe (C).

  6. f(x)>3f\left(x\right) > 3 pour tout xx de ]2;+[\left] - 2 ; +\infty \right[.

    VRAI

    Si x>2x > - 2 :

    x+2>0x+2 > 0 donc 1x+2>0\frac{1}{x+2} > 0 donc 1x+2>0\frac{1}{x+2} > 0 donc 3+1x+2>33+\frac{1}{x+2} > 3

  7. f(1)=1f^{\prime}\left( - 1\right)= - 1

    VRAI

    f(x)=1(x+2)2f^{\prime}\left(x\right)= - \frac{1}{\left(x+2\right)^{2}}

    donc

    f(1)=1f^{\prime}\left( - 1\right)= - 1

  8. La fonction gg définie sur ]-2 ; +\infty [ par g(x)=ln[f(x)]g\left(x\right)=\ln\left[f\left(x\right)\right] est décroissante.

    VRAI

    Si x>2x > - 2 :

    f(x)=1(x+2)2<0f^{\prime}\left(x\right)= - \frac{1}{\left(x+2\right)^{2}} < 0

    gg est la composée de la fonction ff décroissante sur ]2;+[\left] - 2;+\infty \right[ et à valeurs strictement positives, et de la fonction ln\ln croissante sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ donc gg est décroissante sur ]2;+[\left] - 2;+\infty \right[