Compte tenu du choix du repère, les points $A, B, C, D$ ont comme coordonnées :

$A\left(0 ; 0\right) ; B\left(1 ; 0\right) ; C\left(1; 1\right) ; D\left(0 ; 1\right)$

$M$ est le milieu de $\left[AB\right]$ donc :

$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{1}{2}$

$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=0$

$N$ est le milieu de $\left[CD\right]$ donc :

$x_{N}=\frac{x_{C}+x_{D}}{2}=\frac{1}{2}$

$y_{N}=\frac{y_{C}+y_{D}}{2}=1$

Les coordonnées de $M$ et $N$ sont donc :

$M\left(\frac{1}{2} ; 0\right) ; N\left(\frac{1}{2} ; 1\right)$

Le coefficient directeur de la droite $\left(BN\right)$ est :

$m=\frac{y_{N} - y_{B}}{x_{N} - x_{B}} = \frac{1}{ - 0,5}= - 2$

L'équation de $\left(BN\right)$ est donc de la forme $y= - 2x+p$

Comme $B \in \left(BN\right)$ :

$0= - 2\times 1+p$ soit $p=2$.

L'équation de la droite $\left(BN\right)$ est donc $y= - 2x+2$

Le coefficient directeur de la droite $\left(DM\right)$ est :

$m=\frac{y_{M} - y_{D}}{x_{M} - x_{D}} = \frac{ - 1}{0,5}= - 2$

Comme la droite $\left(DM\right)$ passe par le point $D\left(0;1\right)$, son ordonnée à l'origine est $1$.

L'équation de la droite $\left(DM\right)$ est donc $y= - 2x+1$

Les droites $\left(BN\right)$ et $\left(DM\right)$ ont le même coefficient directeur donc elles sont parallèles.