Puissance d'un point par rapport à un cercle
C est un cercle de centre O et de rayon r et [AB] est un diamètre de ce cercle.
M est un point situé à l'extérieur du cercle. On admettra que, dans ce cas, l'angle AMB est aigu.
Les droites (AM) et (BM) coupent C respectivement en I et J.
Montrer que MA.MB=MI×MA.
En déduire que MI×MA=OM2−r2
I étant situé sur le cercle de diamètre [AB], le triangle ABI est rectangle en I
I est donc le projeté orthogonal de B sur (AM).
Comme l'angle AMB est aigu, en utilisant la formule du produit scalaire à l'aide d'une projection orthogonale :
MA.MB=MA×MI
Par ailleurs, en utilisant la relation de Chasles :
MA.MB=(MO+OA).(MO+OB)=(MO+OA).(MO−OA)
MA.MB=MO2−OA2=OM2−r2
Par conséquent : MI×MA=OM2−r2
Remarque: Le résultat MI×MA=OM2−r2 montre que le produit MI×MA ne dépend pas de la position du point A sur le cercle mais dépend uniquement du rayon du cercle et de la distance OM. Ce nombre s'appelle la puissance du point M par rapport au cercle C.