Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Nombres complexes - Equation du second degré

  1. Pour quelle valeur de aa l'équation z22z+a=0z^{2} - 2z+a=0 admet-elle le nombre 1+i1+i comme solution ?

  2. Quelle est alors l'autre solution ?

Corrigé

  1. 1+i1+i est solution de l'équation z22z+a=0z^{2} - 2z+a=0 si et seulement si :

    (1+i)22(1+i)+a=0\left(1+i\right)^{2} - 2\left(1+i\right)+a=0

    1+2i+i222i+a=01+2i+i^{2} - 2 - 2i+a=0

    2+a=0 - 2+a=0

    a=2a=2

  2. On pourrait calculer le discriminant, mais il est plus simple de dire que le polynôme z22z+2z^{2} - 2z+2 est à coefficients réels donc que les racines sont conjuguées. On obtient donc :

    z2=1+i=1iz_{2}=\overline{1+i}=1 - i