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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Nombres complexes - Bac S Pondichéry 2017

Exercice 2

(3 points) - Commun à tous les candidats

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (O ; u; v)(O~;~\vec{u};~\vec{v}).

  1. On considère l'équation

    (E):z26z+c=0(E) :\qquad z^2 - 6z+c = 0

    cc est un réel strictement supérieur à 99.

    1. Justifier que (E)(E) admet deux solutions complexes non réelles.

    2. Justifier que les solutions de (E)(E) sont zA=3+ic9z_{A} = 3+\text{i}\sqrt{c - 9} et zB=3ic9z_{B} = 3 - \text{i}\sqrt{c - 9}.

  2. On note AA et BB les points d'affixes respectives zAz_{A} et zBz_{B}.

    Justifier que le triangle OABOAB est isocèle en OO.

  3. Démontrer qu'il existe une valeur du réel cc pour laquelle le triangle OABOAB est rectangle et déterminer cette valeur.

Corrigé

    1. Le discriminant de l'équation est :

      Δ=b24ac=364c=4(9c)\Delta = b^2 - 4ac=36 - 4c = 4(9 - c)

      Ce discriminant est strictement négatif puisque c>9c > 9.

      L'équation (E)(E) admet donc deux solutions complexes non réelles conjuguées.

    2. z1=b+iΔ2az_1=\dfrac{ - b+\text{i}\sqrt{ - \Delta}}{2a}

      z1=6+2ic92z_1=\dfrac{6+2\text{i}\sqrt{c - 9}}{2}

      z1=3+ic9=zAz_1=3+\text{i}\sqrt{c - 9}=z_A

      z2=z1z_2=\overline{z_1}

      z2=3ic9=zBz_2=3 - \text{i}\sqrt{c - 9}=z_B

  1. OA=zAOA=\left|z_A \right|

    OB=zB=zAOB=\left|z_B \right|=\left|z_A \right| car deux nombres complexes conjugués ont les mêmes modules.

    Le triangle OABOAB est donc isocèle en OO.

  2. Le triangle OABOAB est rectangle en OO si et seulement si les vecteurs OA\overrightarrow{OA} et OB\overrightarrow{OB} sont orthogonaux.

    Les coordonnées de OA\overrightarrow{OA} sont (3c9)\begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{c - 9} \end{pmatrix}.

    Les coordonnées de OB\overrightarrow{OB} sont (3c9)\begin{pmatrix} 3 \\ - \sqrt{c - 9} \end{pmatrix}.

    Les vecteurs OA\overrightarrow{OA} et OB\overrightarrow{OB} sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

    Or :

    OA.OB=3×3+c9×(c9)\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=3\times 3+\sqrt{c - 9}\times( - \sqrt{c - 9})

    OA.OB=9(c9)=18c\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=9 - (c - 9)=18 - c

    Le triangle OABOAB est donc rectangle en OO si et seulement si c=18c=18