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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Nombres complexes – Bac S Nouvelle Calédonie 2016

Exercice 4 - 5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère les nombres complexes znz_n définis, pour tout entier naturel nn, par

z0=1etzn+1=(1+i33)zn.z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.

On note AnA_n le point d'affixe znz_n dans le repère orthonormé (O ; u,v)(O~;~\vec{u},\vec{v}) (voir figure en fin de sujet).

L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points AnA_n.

    1. Vérifier que 1+i33=23eiπ61+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}.

    2. En déduire z1z_1 et z2z_2 sous forme exponentielle.

    1. Montrer que pour tout entier naturel nn,

      zn=(23)neinπ6.z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}.

    2. Pour quelles valeurs de nn, les points O, A0O,~A_0 et AnA_n sont-ils alignés ?

  1. Pour tout entier naturel nn, on pose dn=zn+1znd_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|.

    1. Interpréter géométriquement dnd_n.

    2. Calculer d0d_0.

    3. Montrer que pour tout entier naturel nn non nul,

      zn+2zn+1=(1+i33)(zn+1zn).z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right).

    4. En déduire que la suite (dn)n0\left(d_n\right)_{n \geqslant 0} est géométrique puis que pour tout entier naturel nn,

      dn=33(23)n.d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.

    1. Montrer que pour tout entier naturel nn,

      zn+12=zn2+dn2.\left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2+d_n^2.

    2. En déduire que, pour tout entier naturel nn, le triangle OAnAn+1OA_nA_{n+1} est rectangle en AnA_n.

    3. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point A5A_5 sur la figure ci-dessous à rendre avec la copie.

    4. Justifier cette construction.

Nombres complexes – Bac S  Nouvelle Calédonie 2016