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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Coordonnées et médianes

Dans un repère orthonormal du plan on considère les points A,BA, B et CC de coordonnées A(1;1),B(2;5)A(1;1) , B(2;5) et C(9;3)C(9;3).

Soit G(x;y)G(x;y) un point du plan tel que GA+GB+GC=0\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.

  1. Déterminer en fonction de xx et de yy les coordonnées des vecteurs GA\overrightarrow{GA}, GB\overrightarrow{GB} et GC\overrightarrow{GC}.

  2. Traduire l'égalité GA+GB+GC=0\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} par deux équations d'inconnues xx et yy. En déduire les coordonnées de GG.

  3. On note M,N,PM, N, P les milieux respectifs des segments [AB],[BC][AB], [BC] et [AC][AC]. Calculer les coordonnées des points M,N,PM, N, P.

  4. Montrer que les points A,GA, G et NN sont alignés ainsi que les points B,G,PB, G, P et les points C,G,MC, G, M.

  5. Que représente le point GG pour le triangle ABCABC?

Corrigé

  1. Les coordonnées du vecteur GA\overrightarrow{GA} sont (xAxGyAyG)\begin{pmatrix}x_A - x_G \\ y_A - y_G\end{pmatrix} Les coordonnées des vecteurs GA\overrightarrow{GA}, GB\overrightarrow{GB} et GC\overrightarrow{GC} sont :

    GA(1x1y)\overrightarrow{GA}\begin{pmatrix}1 - x \\ 1 - y\end{pmatrix}

    GB(2x5y)\overrightarrow{GB}\begin{pmatrix}2 - x \\ 5 - y\end{pmatrix}

    GC(9x3y)\overrightarrow{GC}\begin{pmatrix}9 - x \\ 3 - y\end{pmatrix}

  2. On obtient les coordonnées du vecteur GA+GB+GC\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} en faisant la somme des coordonnées des vecteurs GA\overrightarrow{GA}, GB\overrightarrow{GB} et GC\overrightarrow{GC} :

    (1x)+(2x)+(9x)=123x(1 - x)+(2 - x)+(9 - x)=12 - 3x

    (1y)+(5y)+(3y)=93y(1 - y)+(5 - y)+(3 - y)=9 - 3y

    Les coordonnées du vecteur GA+GB+GC\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} sont donc (123x93y)\begin{pmatrix}12 - 3x \\ 9 - 3y\end{pmatrix}

    Le vecteur GA+GB+GC\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} est égal au vecteur nul si et seulement si ses coordonnées sont nulles donc si et seulement si :

    {123x=093y=0\begin{cases} 12 - 3x=0 \\ 9 - 3y=0 \end{cases}

    On obtient donc x=123=4x=\frac{12}{3}=4 et y=93=3y=\frac{9}{3}=3.

    Les coordonnées du point GG sont donc G(4;3)G(4;3)

    medianes et coordonnees

  3. Le milieu MM de [AB][AB] a pour coordonnées :

    M(xA+xB2 ; yA+yB2)M\left(\frac{x_A+x_B}{2}~;~\frac{y_A+y_B}{2}\right)

    M(1+22 ; 1+52)M\left(\frac{1+2}{2}~;~\frac{1+5}{2}\right)

    M(32 ; 3)M\left(\frac{3}{2}~;~3\right)

    Un calcul analogue donne :

    N(112 ; 4)N\left(\frac{11}{2}~;~4\right)

    P(5 ; 2)P\left(5~;~2\right)

    medianes et coordonnees

  4. Pour montrer que les points A,GA, G et NN sont alignés on va montrer que les vecteurs AG\overrightarrow{AG} et AN\overrightarrow{AN} sont colinéaires.

    Les coordonnées du vecteur AG\overrightarrow{AG} sont :

    AG(4131)\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}4 - 1 \\ 3 - 1\end{pmatrix} soit AG(32)\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}

    Les coordonnées du vecteur AN\overrightarrow{AN} sont :

    AN(112141)\overrightarrow{AN}\begin{pmatrix}\frac{11}{2} - 1 \\ \\ 4 - 1\end{pmatrix} soit AN(923)\overrightarrow{AN}\begin{pmatrix}\frac{9}{2} \\ \\ 3\end{pmatrix}

    Rappel

    Pour montrer que les vecteurs u(xy)\vec{u}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} et v(xy)\vec{v}\begin{pmatrix}x ^{\prime} \\ y ^{\prime}\end{pmatrix} sont colinéaires on peut montrer que xyxy=0xy^{\prime} - x^{\prime}y=0

    3×392×2=99=03 \times 3 - \frac{9}{2} \times 2=9 - 9=0

    donc les vecteurs AG\overrightarrow{AG} et AN\overrightarrow{AN} sont colinéaires. Les points A,G,NA, G, N sont donc alignés.

    Les autres alignements se démontrent de manière similaire :

    Les coordonnées du vecteur BG\overrightarrow{BG} sont :

    BG(4235)\overrightarrow{BG}\begin{pmatrix}4 - 2 \\ 3 - 5\end{pmatrix} soit BG(22)\overrightarrow{BG}\begin{pmatrix}2 \\ - 2\end{pmatrix}

    Les coordonnées du vecteur BP\overrightarrow{BP} sont :

    BP(5225)\overrightarrow{BP}\begin{pmatrix}5 - 2 \\ 2 - 5\end{pmatrix} soit BP(33)\overrightarrow{BP}\begin{pmatrix}3 \\ - 3\end{pmatrix}

    2×(3)(2)×3=6+6=02 \times ( - 3) - ( - 2) \times 3 = - 6+6=0

    donc les vecteurs BG\overrightarrow{BG} et BP\overrightarrow{BP} sont colinéaires et les points B,G,PB, G, P sont alignés.

    Les coordonnées du vecteur CG\overrightarrow{CG} sont :

    CG(4933)\overrightarrow{CG}\begin{pmatrix}4 - 9 \\ 3 - 3\end{pmatrix} soit CG(50)\overrightarrow{CG}\begin{pmatrix} - 5 \\ 0\end{pmatrix}

    Les coordonnées du vecteur CM\overrightarrow{CM} sont :

    CM(32933)\overrightarrow{CM}\begin{pmatrix}\frac{3}{2} - 9 \\ \\ 3 - 3\end{pmatrix} soit CM(1520)\overrightarrow{CM}\begin{pmatrix} - \frac{15}{2}\\ \\ 0\end{pmatrix}

    5×0(152)×0=0+0=0 - 5 \times 0 - ( - \frac{15}{2}) \times 0 =0+0=0

    donc les vecteurs CG\overrightarrow{CG} et CM\overrightarrow{CM} sont colinéaires et les points C,G,MC, G, M sont alignés.

  5. Puisque M,N,PM, N, P sont les milieux des segments [AB],[BC][AB], [BC] et [AC][AC], les droites (AN),(BP)(AN), (BP) et (CM)(CM) sont les médianes du triangle ABCABC.

    D'après la question précédente, le point GG appartient à chacune de ces médianes.

    Le point GG est donc le point de concours des médianes c'est à dire le centre de gravité du triangle ABCABC.