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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Médianes - Centre de gravité

On se place dans un repère (O;i,j)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right).

Soient les points A(1;1),B(4;2)A\left(1;1\right), B\left(4;2\right) et C(2;4)C\left(2;4\right)

  1. Déterminer les coordonnées du point MM milieu de [BC]\left[BC\right]. En déduire une équation de la médiane au triangle ABCABC issue de AA.

  2. Déterminer une équation de la médiane au triangle ABCABC issue de BB.

  3. En déduire les coordonnées du centre de gravité GG du triangle ABCABC.

  4. Vérifier que AG=23AM\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AM}

Corrigé

Centre de gravité

Remarque : Pour des raisons de simplicité, le repère choisi pour la figure est orthonormé. Toutefois, cet exercice ne nécessite pas que le repère soit orthonormé.

  1. Les coordonnées de MM sont (xB+xC2;yB+yC2)=(3;3)\left(\frac{x_{B}+x_{C}}{2} ; \frac{y_{B}+y_{C}}{2}\right)=\left(3;3\right)

    La médiane au triangle ABCABC issue de AA est la droite (AM)\left(AM\right).

    Le point P(x;y)P\left(x;y\right) appartient à la droite (AM)\left(AM\right) si et seulement si les vecteurs AM\overrightarrow{AM} et AP\overrightarrow{AP} sont colinéaires.

    AP\overrightarrow{AP} a pour coordonnées (xxA;yyA)=(x1;y1)\left(x - x_{A} ; y - y_{A}\right)=\left(x - 1 ; y - 1\right)

    AM\overrightarrow{AM} a pour coordonnées (xMxA;yMyA)=(2;2)\left(x_{M} - x_{A} ; y_{M} - y_{A}\right)=\left(2 ; 2\right)

    Les vecteurs AM\overrightarrow{AM} et AP\overrightarrow{AP} sont colinéaires si et seulement si (voir théorème) :

    (x1)×2(y1)×2=0\left(x - 1\right)\times 2 - \left(y - 1\right)\times 2=0

    2x2y=02x - 2y=0

    Une équation de la médiane au triangle ABCABC issue de AA est donc 2x2y=02x - 2y=0 ou après simplification par 22 :

    xy=0x - y=0

  2. Le raisonnement étant identique, il ne sera pas détaillé.

    N(32;52)N\left(\frac{3}{2} ; \frac{5}{2}\right)

    BP\overrightarrow{BP} a pour coordonnées (x4;y2)\left(x - 4 ; y - 2\right)

    BN\overrightarrow{BN} a pour coordonnées (xMxA;yMyA)=(52;12)\left(x_{M} - x_{A} ; y_{M} - y_{A}\right)=\left( - \frac{5}{2} ; \frac{1}{2}\right)

    Une équation de (BN)\left(BN\right) est :

    (x4)×12(y2)×52=0\left(x - 4\right)\times \frac{1}{2} - \left(y - 2\right)\times - \frac{5}{2}=0

    x+5y14=0x+5y - 14=0 (après multiplication par 22)

  3. Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection de ses médianes.

    Le couple de coordonnées du point GG est donc la solution du système :

    {xy=0x+5y14=0{x=y6y14=0{x=yy=7/3{x=7/3y=7/3\left\{ \begin{matrix} x - y=0 \\ x+5y - 14=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=y \\ 6y - 14=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=y \\ y=7/3\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=7/3 \\ y=7/3 \end{matrix}\right.

    Les coordonnées de GG sont donc (73;73)\left(\frac{7}{3} ; \frac{7}{3}\right)

  4. AG\overrightarrow{AG} a pour coordonnées (xGxA;yGyA)=(43;43)\left(x_{G} - x_{A} ; y_{G} - y_{A}\right)=\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)

    AM\overrightarrow{AM} a pour coordonnées (2;2)\left(2 ; 2\right)

    On a donc bien AG=23AM\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AM}

    Remarque : On retrouve dans cette question un résultat vu au collège. Si l'exercice demandait seulement de trouver les coordonnées de GG, il était bien sûr plus facile de partir de cette égalité vectorielle que de déterminer l'équation des médianes.