Exercice 3 (5 points)

Candidats de la série ES ayant choisi la spécialité « mathématiques »

Pour la nouvelle année, Lisa prend la bonne résolution d'aller au travail tous les matins à vélo. Le premier jour, très motivée, Lisa se rend au travail à vélo. Par la suite, elle se rend toujours au travail à vélo ou en voiture.

Elle se rend compte que :

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets A et B où :

On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :

1. 1. Traduire les données par un graphe probabiliste.

   2. En déduire la matrice de transition $M$.

2. 1. Donner les valeurs de $a_1$ et $b_1$ correspondant à l'état initial.

   2. Calculer la probabilité arrondie au centième que Lisa prenne le vélo le 8$^{e}$ jour.

3. Déterminer l'état stable du graphe puis interpréter le résultat obtenu.

4. 1. Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ non nul : $a_{n+1} = 0,7a_n + 0,5b_n$.

   2. En déduire que pour tout entier naturel non nul $n$ : $a_{n+1} = 0,2a_n + 0,5$.

5. 1. Recopier et compléter l'algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $a_n < 0,626$.

      

   2. Quelle est la valeur de $N$ après exécution de l'algorithme ? Interpréter ce résultat.