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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Logarithme – Bac ES/L Métropole Réunion 2016

Exercice 4 - 6 points

Commun à tous les candidats

La courbe (C)(C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction ff définie et dérivable sur [0,5 ;6][0,5~;6].

Bac ES/L Métropole Réunion 2016

Les points A (1 ; 3)A\ (1~;~3) et BB d'abscisse 1,51,5 sont sur la courbe (C)(C).

Les tangentes à la courbe (C)(C) aux points AA et BB sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point BB est horizontale.

On note ff^\prime la fonction dérivée de ff. Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Etude graphique

  1. Déterminer f(1,5)f^\prime(1,5).

  2. La tangente à la courbe (C)(C) passant par AA passe par le point de coordonnées (0;2)(0\,;\,2). Déterminer une équation de cette tangente.

  3. Donner un encadrement de l'aire, en unités d'aire et à l'unité près, du domaine compris entre la courbe (C)(C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1x=1 et x=2x=2.

  4. Déterminer la convexité de la fonction ff sur [0,5;6][0,5\,;\,6]. Argumenter la réponse.

Partie B

Etude analytique

On admet que la fonction ff est définie sur [0,5 ; 6][0,5~;~6] par

f(x)=2x+5+3ln(x).f(x) = - 2x+5+3\ln (x).

  1. Pour tout réel xx de [0,5 ; 6][0,5~;~6], calculer f(x)f^\prime(x) et montrer que f(x)=2x+3xf^\prime(x)=\dfrac{ - 2x+3}{x}.

  2. Étudier le signe de ff^\prime sur [0,5 ; 6][0,5~;~6] puis dresser le tableau de variation de ff sur [0,5 ; 6][0,5~;~6].

  3. Montrer que l'équation f(x)=0f(x)=0 admet exactement une solution α\alpha sur [0,5;6][0,5\,;\,6].

    Donner une valeur approchée de α\alpha à 10210^{ - 2} près.

  4. En déduire le tableau de signe de ff sur [0,5 ; 6][0,5~;~6].

  5. On considère la fonction FF définie sur [0,5 ; 6][0,5~;~6] par

    F(x)=x2+2x+3xln(x)F(x)= - x^2 +2x +3x \ln(x).

    1. Montrer que FF est une primitive de ff sur [0,5 ; 6][0,5~;~6].

    2. En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe (C)(C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1x = 1 et x=2x = 2. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième.