Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Arbre - Lancers successifs

On lance plusieurs fois un dé à six faces (numérotées de 1 à 6) bien équilibré.

On s'arrête :

  1. Représenter cette expérience par un arbre pondéré.

  2. Quelle est la probabilité de ne jamais obtenir le chiffre 6 au cours des 4 lancés.

  3. XX est la variable aléatoire qui comptabilise le nombre total de lancer avant l'arrêt.

    Quelles sont les différentes valeurs possibles pour XX?

    Donner la loi de probabilité de XX.

Corrigé

  1. Arbre pondéré

    SS est l'évènement : "on obtient le chiffre 6" ;
    S\overline{S} est l'évènement contraire.

  2. La probabilité de ne jamais obtenir de "6" au cours de cette expérience est :

    p=56×56×56×56=6251296p=\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}=\frac{625}{1296}

  3. XX peut prendre les valeurs: 1, 2, 3, 4

    X=1X=1 si on obtient un 6 lors du premier lancer.

    p(X=1)=16p\left(X=1\right)=\frac{1}{6}

    X=2X=2 si on n'obtient pas de 6 lors du premier lancer et si l'on en obtient un lors du second lancer.

    p(X=2)=56×16=536p\left(X=2\right)=\frac{5}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{5}{36}

    De même :

    p(X=3)=56×56×16=25216p\left(X=3\right)=\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{25}{216}

    La somme des probabilité de toutes les issues étant égale à 1 :

    p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)+p(X=4)=1p\left(X=1\right)+p\left(X=2\right)+p\left(X=3\right)+p\left(X=4\right)=1

    Par conséquent :

    p(X=4)=11653625216=125216p\left(X=4\right)=1 - \frac{1}{6} - \frac{5}{36} - \frac{25}{216}=\frac{125}{216}

    On obtient donc le tableau suivant :

    xix_{i} 1 2 3 4
    p(X=xi)p\left(X=x_{i}\right) 16\frac{1}{6} 536\frac{5}{36} 25216\frac{25}{216} 125216\frac{125}{216}