Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Intégrales de Wallis

On considère la suite (In)(I_n) définie pour tout entier naturel nn par :

In=0π2cosnt dtI_n= \int_0^{ \frac{ \pi } {2}}\cos^nt\ dt

Partie I - Calcul des premiers termes

  1. Calculer I0I_0 et I1I_1

  2. Soit nn un entier naturel strictement supérieur à 11 et ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=sinxcosnxf(x)=\sin x\cos^{n}x.

    Montrer que f(x)=(n+1)cosn+1xncosn1xf^{\prime}(x)=(n+1)\cos^{n+1} x - n\cos^{n - 1}x

    En déduire que pour entier n>1n > 1 : In=n1n In2I_n= \frac{n - 1}{n}\ I_{n - 2}

  3. Xavier souhaite écrire un programme calculant les NN premiers termes de la suite (In)(I_n) pour N>1N > 1.

    Il propose l'algorithme suivant :

    VARIABLES U, Uprec sont des réels N, I sont des entiers DEBUT ALGORITHME Lire N Uprec prend la valeur PI/2 Afficher Uprec U prend la valeur 1 Afficher U Pour I allant de 2 à N Uprec prend la valeur U U prend la valeur Uprec*(I-1)/I Afficher U Fin Pour FIN ALGORITHME

    Il remarque toutefois que son programme ne fonctionne pas correctement.

    Après avoir analysé l'algorithme de Xavier, indiquer l'erreur commise et corriger l'algorithme afin qu'il affiche correctement les NN premiers termes de la suite (In)(I_n).

Partie II - Étude de la convergence

  1. Montrer que la suite (In)(I_n) est décroissante.

  2. Montrer que la suite (In)(I_n) est convergente.

  3. Montrer par récurrence que pour tout entier n0n \geqslant 0 : (n+1)InIn+1=π2\left(n+1\right)I_nI_{n+1}= \frac{ \pi }{2}

    (On pourra utiliser le résultat de la question I.2.)

  4. En déduire limn+In \lim_{n \rightarrow +\infty } I_n.