Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Calcul d'une intégrale avec exponentielle

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=xexf\left(x\right)=xe^{ - x}

  1. Déterminer les réels aa et bb tels que la fonction FF définie sur R\mathbb{R} par F(x)=(ax+b)exF\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{ - x} soit une primitive de ff.

  2. En déduire la valeur de :

    I=01f(t)dtI=\int_{0}^{1}f\left(t\right)dt

Corrigé

  1. FF est une primitive de ff si et seulement si F=fF^{\prime}=f

    Si F(x)=(ax+b)exF\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{ - x} alors :

    F(x)=aex+(ax+b)×exF^{\prime}\left(x\right)=ae^{ - x}+\left(ax+b\right)\times - e^{ - x} (formule (uv)=uv+uv\left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime})

    F(x)=(ax+ab)exF^{\prime}\left(x\right)=\left( - ax+a - b\right) e^{ - x}

    Par identification, F=fF^{\prime}=f si et seulement si a=1 - a=1 et ab=0a - b=0; c'est à dire :

    a=1a= - 1 et b=1 b= - 1

    On obtient alors :

    F(x)=(x1)exF\left(x\right)=\left( - x - 1\right)e^{ - x}

  2. I=F(1)F(0)=2e1+1e0=12eI=F\left(1\right) - F\left(0\right)= - 2e^{ - 1}+1e^{0}=1 - \frac{2}{e}