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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Graphiques - signes - variations

Le graphique ci-dessous reproduit les courbes représentatives (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g) de deux fonctions ff et gg. courbes représentatives

  1. Quels sont les ensembles de définition des fonctions ff et gg ? (On considèrera qu'il s'agit d'intervalles fermés)

  2. Déterminer graphiquement :

    • l'image de 44 par ff

    • l'image de 4 - 4 par ff

    • l'image de 8 - 8 par gg

  3. Résoudre graphiquement les inéquations :

    • f(x)<4f(x) < 4

    • f(x)0f(x) \geqslant 0

    • f(x)g(x)f(x) \geqslant g(x)

  4. Donner les maximum et minimum des fonctions ff et gg. Pour quelles valeurs de xx sont-ils atteints ?

  5. À quel intervalle appartient f(x)f(x) si xx appartient à l'intervalle [4;4][ - 4 ; 4]?

  6. Construire les tableaux de variation des fonctions ff et gg.

  7. Construire les tableaux de signes des fonctions ff et gg.

  8. Soit la fonction hh définie sur l'intervalle [8;11][ - 8;11] par h(x)=f(x)×g(x)h(x)=f(x) \times g(x).

    Construire le tableau de signes de la fonction hh.

Corrigé

Solution rédigée par Abi.

1. Quels sont les ensembles de définition des fonctions f et g ? (On considèrera qu'il s'agit d'intervalles fermés)

Df : [- 8; 11] pour f et 

Dg : [-8 ; 15] pour g.

2. Déterminer graphiquement les images :

* l'image de 4 par f -> f(4) = 2 ;  

* l'image de -4 par f -> f(-4) = 4

* l'image de -8 par g -> g(-8) =0

3. Résoudre graphiquement les inéquations :

* f(x) < 4 :  S= ]-4; 11]

* f(x) > ou = 0   S=[-8;6]

* f(x) > ou = g(x)   S = [-8; -4] U [0 ; 8]

4. Donner les maximum et minimum des fonctions f et g. Pour quelles valeurs de x sont-ils atteints ?

a. Minimums (m):}

- pour f : m= -2 pour x = 8
- pour g : m = g(4) = -4

b. Maximums (M) :
- pour f : M= f(-8) =8 
- pour g : M= g(-4)=4 

5. À quel intervalle appartient f(x) si x appartient à l'intervalle [-4;4] ?

Si x appartient à l'intervalle [-4;4] alors f(x)  image de x appartient à l'intervalle [0 ; 4] de l'axe des ordonnées (toute la zone des y par où passent toutes les droites  parallèles à l'axe des abscisses)

6. Construire les tableaux de variation des fonctions f et g

tableau de variations de la fonction f

tableau de variations de la fonction g

7. Construire les tableaux de signes des fonctions ff et gg.

Exemple tableau de signes d'un produit

Exemple tableau de signes d'un produit

8. Soit la fonction hh définie sur l'intervalle [8;11][ - 8;11] par h(x)=f(x)×g(x)h(x)=f(x) \times g(x).

Construire le tableau de signes de la fonction hh.

Exemple tableau de signes d'un produit