Exercice 2 (5 points)

Candidats ayant choisi la spécialité « mathématiques »

Une société d'autoroute étudie l'évolution de l'état de ses automates de péage en l'absence de maintenance.

Un automate peut se trouver dans l'un des états suivants :

• fonctionnel (F) ;

• en sursis (S) s'il fonctionne encore, mais montre des signes de faiblesse ;

• défaillant (D) s'il ne fonctionne plus.

La société a observé que d'un jour sur l'autre :

• concernant les automates fonctionnels, 90 % le restent et 10 % deviennent en sursis ;

• concernant les automates en sursis, 80 % le restent et 20 % deviennent défaillants.

1. 1. Reproduire et compléter le graphe probabiliste ci-après qui représente les évolutions possibles de l'état d'un automate.

      

   2. Interpréter le nombre 1 qui apparaît sur ce graphe.

   3. Voici la matrice de transition $M = \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\\0 &0,8 &0,2\\0&0&1\end{pmatrix}$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre F, S, D. Préciser la signification du coefficient $0,2$ dans cette matrice.

2. À compter d'une certaine date, la société relève chaque jour à midi l'état de ses automates. On note ainsi pour tout entier naturel $n$ :

   • $f_n$ la probabilité qu'un automate soit fonctionnelle $n$-ième jour ;

   • $s_n$ la probabilité qu'un automate soit en sursis le $n$-ième jour ;

   • $d_n$ la probabilité qu'un automate soit défaillant le $n$-ième jour.

   On note alors $P_n = \begin{pmatrix}f_n &s_n&d_n \end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste le $n$-ième jour. Enfin, la société observe qu'au début de l'expérience tous ses automates sont fonctionnels : on a donc $P_0 = \begin{pmatrix}1 &0 &0\end{pmatrix}$.

   1. Calculer $P_1$.

   2. Montrer que, le 3\up{e} jour, l'état probabiliste est $\begin{pmatrix}0,729 &0,217 &0,054\end{pmatrix}$.

   3. Vérifier que ce graphe possède un unique état stable $P = \begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$. Quelle est la signification de ce résultat pour la situation étudiée ?

3. 1. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $s_{n+1} = 0,1f_n + 0,8s_n$.

   2. On vérifierait de même que pour tout entier naturel $n$,

      $d_{n+1} = 0,2s_n + d_n \quad \text{et } \:f_{n+1} = 0,9f_n.$

      Compléter l'algorithme ci-dessous de sorte qu'il affiche le nombre de jours au bout duquel 30 % des automates ne fonctionnent plus.

      

   3. Au bout de combien de jours la proportion d'automates défaillants devient-elle supérieure à 30 % ?

   4. Dans le codage de la boucle « Tant que », l'ordre d'affectation des variables $D$, $S$ et $F$ est-il important ? Justifier.