Partie A

• Les points $I, J,C$ et $G$ sont coplanaires. Pour placer le point $L$, il suffit de prolonger les droites $(IJ)$ et $(GC)$.

• Les points $K$ et $L$ appartiennent tous deux aux plans $IJK$ et $CDH$. L'intersection$\mathscr{D}$ de ces plans est donc la droite $(LK)$. Cette droite coupe le côté $[DH]$ en un point $P$.

• La section du cube par le plan $(IJK)$ a pour côtés $[IJ], [JK]$ et $[KP]$. Les trois autres côtés s'obtiennent en traçant les parallèles à $[IJ], [JK]$ et $[KP]$. On obtient ainsi un hexagone régulier $IJKPQR$.

Partie B

1. Par lecture directe :

   $A(0;0;0)$

   $G(1;1;1)$

   $I\left(1;0;\frac{1}{2}\right)$

   $J\left(1;\frac{1}{2};0\right)$

   $K\left(\frac{1}{2};1;0\right)$

2. 1. Pour montrer que le vecteur $\overrightarrow{AG}$ est normal au plan $(IJK)$, il suffit de montrer que $\overrightarrow{AG}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan, par exemple $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{JK}$.

      • Les coordonnées de $\overrightarrow{IJ}$ sont $\begin{pmatrix} 0 \\ 1/2 \\ - 1/2 \end{pmatrix}$ et les coordonnées de $\overrightarrow{AG}$ sont $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

        $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AG}=0 \times 1+\frac{1}{2} \times 1 - \frac{1}{2} \times 1 = 0$

        Donc les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AG}$ sont orthogonaux.

      • Les coordonnées de $\overrightarrow{JK}$ sont $\begin{pmatrix} - 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix}$.

        $\overrightarrow{JK}.\overrightarrow{AG}= - \frac{1}{2} \times 1+\frac{1}{2} \times 1 +0 \times 1= 0$

        Donc les vecteurs $\overrightarrow{JK}$ et $\overrightarrow{AG}$ sont orthogonaux.

      Le vecteur $\overrightarrow{AG}$ est donc normal au plan $(IJK)$.

   2. Le plan $(IJK)$ admet donc une équation cartésienne de la forme $x+y+z+d=0$.

      Ce plan passant par $I$, les coordonnées de $I$ vérifient l'équation.

      Par conséquent :

      $1+0+\frac{1}{2}+d=0$

      $d= - \frac{3}{2}$

      Une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est donc $x+y+z - \frac{3}{2}=0$

3. 1. Les coordonnées du point $G$ étant $(1;1;1)$ et $A$ étant l'origine du repère, la relation $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AG}$ entraîne que les coordonnées de $M$ sont $(t;t;t)$.

      Alors :

      $MI^2=(1 - t)^2+( - t)^2+ \left(\frac{1}{2} - t \right)^2$

      $\phantom{MI^2}=1 - 2t+t^2+t^2+\frac{1}{4} - t +t^2$

      $\phantom{MI^2}= 3t^2 - 3t+\dfrac{5}{4}$

   2. La fonction carrée étant strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, $MI^2$ et $MI$ ont des sens de variations identiques.

      $MI^2$ est un polynôme du second degré en $t$ de coefficients $a=3,\ b= - 3$ et $c=\frac{5}{4}$.

      $a>0$ donc $MI^2$ admet un minimum pour $t_0= - \frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$. Les coordonnées de $M$ sont alors $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.

      La distance $MI$ est donc minimale au point $M\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$

4. 1. Pour prouver que le point $M$ appartient au plan $(IJK)$, il suffit de montrer que les coordonnées de $M$ vérifient l'équation du plan $(IJK)$ (trouvée en 2.a.).

      C'est immédiat :

      $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} - \frac{3}{2}=0$

   2. Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires ils faut montrer qu'elles sont orthogonales et sécantes.

      • $(IM)$ et $(AG)$ sont sécantes en $M$ puisque, par hypothèse, $M$ est un point du segment $[AG]$. Par ailleurs, $(IM)$ est incluse dans le plan $(IJK)$ qui est perpendiculaire à $(AG)$ d'après 2.a. donc $(IM)$ et $(AG)$ sont orthogonales.

      • $(IM)$ et $(BF)$ sont sécantes en $I$.

        Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{IM}$ et $\overrightarrow{BF}$ sont $\overrightarrow{IM}\begin{pmatrix} - 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \end{pmatrix}$et $\overrightarrow{BF}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

        $\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{BF}= - \frac{1}{2} \times 0 + \frac{1}{2} \times 0 + 0 \times 1=0$.

        Donc $(IM)$ et $(BF)$ sont orthogonales.

      La droite ($IM$) est donc perpendiculaire aux droites $(AG)$ et $(BF)$.