Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Fonctions - Contour d'une piscine

Pour les besoins d'un centre de loisirs, un architecte élabore les plans d'une future piscine carrelée.

Le graphique ci-dessous présente le contour de cette piscine dans un repère orthonormé (O,I,J)(O,I,J) d'unité 1 mètre.

fonctions-contour-dune-piscine


C1C_1 est un demi-cercle de centre OO et de rayon 88 ;

C2C_2 est un demi-cercle de centre P(12;0)P(12 ; 0) et de rayon 66. Les courbes F1F_1 et F2F_2 relient ces deux demi-cercles.

Le contour de la piscine est symétrique par rapport à l'axe des abscisses. On suppose, par ailleurs, que les tangentes à la courbe F1F_1 aux points M(0;8)M(0;8) et N(12;6)N(12;6) sont parallèles à l'axe des abscisses.

Partie 1

  1. La courbe F1F_1 est la représentation graphique d'une fonction ff définie sur [0;12][0;12].

    Quelles sont les valeurs de f(0)f(0), f(12)f(12) , f(0)f^{\prime}(0), f(12)f^{\prime}(12) ?

  2. ff est définie sur [0;12][0;12] par f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d.

    Déduire de la question précédente un système de quatre équations à quatre inconnues vérifié par (a;b;c;d)(a;b;c;d).

  3. En déduire les valeurs de a,b,ca, b, c et dd.

Partie 2

Dans la suite du problème on suppose que ff est définie sur [0;12][0;12] par f(x)=1432x3124x2+8f(x)=\frac{1}{432}x^3 - \frac{1}{24}x^2+8.

  1. Montrer que le milieu II de [MN][MN] appartient à la courbe F1F_1

  2. Donner une équation de la tangente (T)(T) à la courbe F1F_1 au point II.

Partie 3

  1. Dans le but de carreler le fond de la piscine, l'architecte cherche à estimer l'aire A\mathscr A de la surface située à l'intérieur de ce contour.

    On admet que l'aire de la surface délimitée par la courbe F1F_1 et les segments [OM],[OP],[PN][OM], [OP], [PN] est égale à l'aire du trapèze OMNPOMNP.

    Calculer l'aire A\mathscr A en m2\text{m}^2 (on arrondira au m2\text{m}^2 près).

  2. La profondeur de la piscine sera constante et égale à 1,5m1,5\text{m}.

    Quel sera, en m3\text{m}^3, le volume d'eau de la piscine ?

Corrigé

Partie 1

  1. La courbe F1F_1 passe par le point M(0;8)M(0;8) donc f(0)=8f(0)=8.

    La courbe F1F_1 passe par le point N(12;6)N(12;6) donc f(12)=6f(12)=6.

    Rappel

    La tangente à F1F_1 au point d'abscisse aa est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si f(a)=0f ^{\prime}(a)=0

    La tangente à F1F_1 au point MM est parallèle à l'axe des abscisses donc f(0)=0f ^{\prime}(0)=0.

    La tangente à F1F_1 au point NN est parallèle à l'axe des abscisses donc f(12)=0f ^{\prime}(12)=0.

  2. f(0)=a×03+b×02+c×0+d=df(0)=a\times 0^3+b \times 0^2+c \times 0+d=d

    Donc d'après la question précédente d=8d=8.

    De même :

    f(12)=a×123+b×122+c×12+df(12)=a\times 12^3+b \times 12^2+c \times 12+d=1728a+144b+12c+d=1728a+144b+12c+d

    Donc 1728a+144b+12c+d=61728a+144b+12c+d=6.

    f(x)=3ax2+2bx+cf ^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+c

    f(0)=3a×02+2b×0+c=cf ^{\prime}(0)=3a \times 0^2+2b \times 0+c=c

    Donc c=0c=0.

    f(12)=3a×122+2b×12+c=432a+24b+cf ^{\prime}(12)=3a \times 12^2+2b \times 12+c=432a+24b+c

    Donc 432a+24b+c=0432a+24b+c=0.

    Le quadruplet (a;b;c;d)(a;b;c;d) est donc solution du système :

    {d=81728a+144b+12c+d=6c=0432a+24b+c=0\begin{cases} d=8 \\ 1728a+144b+12c+d=6 \\ c=0 \\ 432a+24b+c=0 \end{cases}

  3. Les première et troisième équations donnent c=0c=0 et d=8d=8.

    En remplaçant cc par 00 et dd par 88 dans les deux autres équations on obtient :

    (S) {1728a+144b+8=6432a+24b=0(S) \ \begin{cases} 1728a+144b+8=6 \\ 432a+24b=0 \end{cases}

    Ce système équivaut à :

    (S) {1728a+144b+8=6b=18a(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} 1728a+144b+8=6 \\ b= - 18a \end{cases} 

    (S) {1728a+144×(18a)=2b=18a(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} 1728a+144 \times ( - 18a)= - 2 \\ b= - 18a \end{cases} 

    (S) {864a=2b=18a(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} - 864a= - 2 \\ b= - 18a \end{cases}  

    (S) {a=2864b=18×2864(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\frac{2}{864} \\ \\ b= - 18 \times \frac{2}{864} \end{cases}  

    (S) {a=1432b=124(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\frac{1}{432} \\ \\ b= - \frac{1}{24} \end{cases}  

    Finalement a=1432,b=124,c=0 a=\frac{1}{432}, b= - \frac{1}{24}, c=0 et d=8d=8.

    Donc f(x)=1432x3124x2+8f(x)=\frac{1}{432}x^3 - \frac{1}{24}x^2+8.

Partie 2

  1. Les coordonnées du point II sont :

    xI=xM+xN2=0+122=6x_I=\frac{x_M+x_N}{2}=\frac{0+12}{2}=6

    yI=yM+yN2=8+62=7y_I=\frac{y_M+y_N}{2}=\frac{8+6}{2}=7

    Rappel

    Le point II appartient à la courbe F1F_1 si et seulement si f(xI)=yIf(x_I)=y_I

    f(6)=1432×216124×36+8f(6)=\frac{1}{432} \times 216 - \frac{1}{24} \times 36+8=0,51,5+8=7=0,5 - 1,5+8=7

    f(xI)=yIf(x_I)=y_I donc le milieu II de [MN][MN] appartient à la courbe F1F_1.

  2. L'équation réduite de la tangente à la courbe F1F_1 en II est :

    y=f(6)(x6)+f(6)y=f ^{\prime}(6)(x - 6)+f(6)

    f(x)=3432x2224xf ^{\prime}(x)=\frac{3}{432}x^2 - \frac{2}{24}x=x2144x12=\frac{x^2}{144} - \frac{x}{12}

     

    f(6)=36144612=14f^{\prime}(6)=\frac{36}{144} - \frac{6}{12}= - \frac{1}{4}

    L'équation réduite de (T)(T) est donc :

    y=14(x6)7y= - \frac{1}{4}(x - 6) - 7

     

    y=14x+172y= - \frac{1}{4}x+\frac{17}{2}

    fonctions-contour-dune-piscine-2

Partie 3

  1. On "découpe" l'aire A\mathscr A en quatre aires :

    • l'aire A1\mathscr A_1 du demi-disque de rayon [OM][OM]

    • l'aire A2\mathscr A_2 du demi-disque de rayon [PN][PN]

    • l'aire A3\mathscr A_3 du trapèze OMNPOMNP et du trapèze symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

    A1=12πOM2=32π\mathscr A_1=\frac{1}{2}\pi OM^2=32\pi

    A2=12πPN2=18π\mathscr A_2=\frac{1}{2}\pi PN^2=18\pi

    Rappel

    L'aire d'un trapèze de bases bb et BB et de hauteur hh est A=b+B2×h\mathscr A=\frac{b+B}{2} \times h

    A3=8+62×12\mathscr A_3=\frac{8+6}{2} \times 12

    A3=7×12\phantom{\mathscr A_3}=7 \times 12

    A3=84\phantom{\mathscr A_3}=84

    L'aire totale est donc :

    A=A1+A2+2×A3\mathscr A=\mathscr A_1+\mathscr A_2+2 \times \mathscr A_3

    A=50π+168325m2\phantom{\mathscr A}=50\pi+168 \approx 325 \text{m}^2

  2. Le volume d'eau de la piscine est :

    V=1,5×A488m3\mathscr V = 1,5 \times \mathscr A \approx 488 \text{m}^3