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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions associées : Tableau de variations

[Pour cet exercice, on suppose que le chapitre "Dérivées" n'a pas encore été étudié et on n'utilisera pas cette notion]

Soit ff une fonction définie sur ];0[]0;+[\left] - \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[ dont le tableau de variations est le suivant :

Exercice

On pose g=1fg=\frac{1}{f}

  1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction gg?

  2. Dressez le tableau de variations de la fonction gg.

Corrigé

  1. gg est définie si et seulement si :

    • ff est définie

    • f f est non nulle

    La première condition est vérifiée pour x0x\neq 0.

    Par ailleurs, le tableau de variation montre que ff est strictement positive (car supérieure ou égale à 11) sur ];0[\left] - \infty ; 0\right[ et strictement négative (car inférieure ou égale à 1 - 1) sur ]0;+[\left]0 ; +\infty \right[.

    Donc ff n'est jamais nulle sur ];0[]0;+[\left] - \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[.

    L'ensemble de définition de gg est donc identique à celui de ff:

    Dg=];0[]0;+[\mathscr D_{g}=\left] - \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[

  2. ff ne s'annule pas et ne change pas de signe sur ];0[\left] - \infty ; 0\right[. gg est l'inverse de ff donc le sens de variations de gg est contraire à celui de ff sur ];0[\left] - \infty ; 0\right[. (voir cours)

    Par un raisonnement analogue, on montre que le sens de variations de gg est contraire à celui de ff sur ]0;+[\left]0 ; +\infty \right[.

    Enfin :

    g(1)=1f(1)=11=1g\left( - 1\right)=\frac{1}{f\left( - 1\right)}=\frac{1}{1}=1 et g(2)=1f(2)=11=1g\left(2\right)=\frac{1}{f\left(2\right)}=\frac{1}{ - 1}= - 1

    On obtient le tableau de variations suivant :

    Exercice