Etude de la fonction tangente

On définit la fonction tangente ( $\tan$ ) par :

$\tan\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$

Sur quel ensemble $D$ la fonction tangente est elle définie ?
Montrer que la fonction tangente est périodique de période $\pi$ .

Par la suite on étudiera la fonction tangente sur l'intervalle $I=\left] - \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}\right[$ .
Montrer que la fonction tangente est dérivable sur $I$ et que pour tout $x \in I$ :
$\tan^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{\cos^{2}\left(x\right)}=1+\tan^{2}\left(x\right)$
Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow - \pi /2+}\tan\left(x\right)$ et $\lim\limits_{x\rightarrow \pi /2 - }\tan\left(x\right)$ .

(On rappelle que la notation « $x\rightarrow - \pi /2+$ » signifie : « $x\rightarrow - \pi /2$ et $x > - \pi /2$ »

et « $x\rightarrow \pi /2 -$ » signifie : « $x\rightarrow \pi /2$ et $x < \pi /2$ »)
Tracer le tableau de variation de la fonction tangente sur l'intervalle $I$ .
Tracer la courbe de la fonction tangente sur l'intervalle $I$ .
A partir de cette courbe, comment obtiendrait-on la courbe complète de la fonction tangente sur $\mathbb{R}$ ?

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