Fonction homographique ou non
Pour chacune des fonctions c-dessous :
f(x)=x+11
g(x)=x−1x2+1
h(x)=x+22x+4
f est définie si et seulement si x+1≠0, c'est à dire x≠−1. Son ensemble de définition est :
Df=R\{−1}
f est de la forme x↦cx+dax+b avec a=0,b=1,c=1(≠0),d=1 et ad−bc=−1≠0 : donc f est une fonction homographique.
g est définie lorsque x−1≠0, c'est à dire x≠1. L'ensemble de définition de g est :
Df=R\{1}
g n'est pas une fonction homographique (à cause du terme x2 au numérateur).
h est définie si et seulement si x+2≠0, c'est à dire x≠−2. Son ensemble de définition est :
Dh=R\{−2}
h est de la forme x↦cx+dax+b mais ad−bc=0 donc h n'est pas une fonction homographique.
En fait pour x≠−2, h(x) se simplifie :
h(x)=x+22x+4=x+22(x+2)=2
h est donc une fonction constante sur R\{−2}.