Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonction homographique - Position de courbes

Soient les fonctions ff et gg définies par :

f(x)=x2x+1f\left(x\right)=\frac{x - 2}{x+1}

g(x)=3x+2x1g\left(x\right)=\frac{3x+2}{x - 1}

  1. Quel est l'ensemble de définition de ff ? De gg ?

  2. A la calculatrice, tracer les courbes représentatives de ff et gg.

    Lire graphiquement, les solutions de l'équation f(x)=g(x)f\left(x\right)=g\left(x\right).

  3. Retrouver par le calcul les résultats de la question 2.

  4. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)g(x)f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)

  5. Montrer que sur R\{1;1}\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1 ; 1\right\} l'inéquation f(x)g(x)f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right) est équivalente à :

    x(x+4)(x1)(x+1)0\frac{x\left(x+4\right)}{\left(x - 1\right)\left(x+1\right)}\geqslant 0

    A l'aide d'un tableau de signe, retrouver par le calcul le résultat de la question 4.

Corrigé

  1. ff est définie si et seulement si :

    x+10x+1\neq 0

    x1x\neq - 1

    Donc Df=R\{1}\mathscr D_{f}=\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1\right\}

    gg est définie si et seulement si :

    x10x - 1\neq 0

    x1x\neq 1

    Donc Dg=R\{1}\mathscr D_{g}=\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}


  2. Courbes calculatrice

    Les solutions sont les abscisses des points d'intersection des 2 courbes. A la calculatrice, on trouve 2 solutions x=4x= - 4 et x=0x=0.

  3. Sur R\{1;1}\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1 ; 1\right\} :

    f(x)=g(x)x2x+1=3x+2x1f\left(x\right) = g\left(x\right) \Leftrightarrow \frac{x - 2}{x+1} = \frac{3x+2}{x - 1}

    f(x)=g(x)(x2)(x1)=(x+1)(3x+2)\phantom{f\left(x\right) = g\left(x\right)} \Leftrightarrow (x - 2)(x - 1)=(x+1)(3x+2) ("produit en croix")

    f(x)=g(x)x23x+2=3x2+5x+2\phantom{f\left(x\right) = g\left(x\right)} \Leftrightarrow x^2 - 3x+2=3x^2+5x+2

    f(x)=g(x)2x28x=0\phantom{f\left(x\right) = g\left(x\right)} \Leftrightarrow - 2x^2 - 8x=0

    On peut mettre 2x - 2x en facteur:

    2x(x+4)=0 - 2x(x+4)=0

    C'est une équation "produit" qui a pour solutions :

    2x=0 - 2x=0 ou x+4=0x+4=0

    c'est à dire x=0x=0 ou x=4x= - 4

    On retrouve bien les résultats de la question précédente.

  4. f(x)g(x)f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right) si et seulement si la courbe de ff est en dessous de la courbe de gg

    Sur le graphique on voit que S=];4]]1;0]]1;+[S=\left] - \infty ; - 4\right] \cup \left] - 1;0\right] \cup \left]1;+\infty \right[

  5. f(x)g(x)g(x)f(x)0f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right) \Leftrightarrow g\left(x\right) - f\left(x\right) \geqslant 0

    f(x)g(x)3x+2x1x2x+10\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \frac{3x+2}{x - 1} - \frac{x - 2}{x+1} \geqslant 0

    f(x)g(x)(3x+2)(x+1)(x1)(x+1)(x2)(x1)(x+1)(x1)0\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \frac{\left(3x+2\right)\left(x+1\right)}{\left(x - 1\right)\left(x+1\right)} - \frac{\left(x - 2\right)\left(x - 1\right)}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} \geqslant 0

    f(x)g(x)3x2+3x+2x+2(x1)(x+1)x2x2x+2(x+1)(x1)0\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \frac{3x^{2}+3x+2x+2}{\left(x - 1\right)\left(x+1\right)} - \frac{x^{2} - x - 2x+2}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} \geqslant 0

    f(x)g(x)2x2+8x(x+1)(x1)0\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \frac{2x^{2}+8x}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} \geqslant 0

    f(x)g(x)2x(x+4)(x+1)(x1)0\phantom{f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)} \Leftrightarrow \frac{2x\left(x+4\right)}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} \geqslant 0

    Comme 2 est positif l'expression 2x(x+4)(x+1)(x1)\frac{2x\left(x+4\right)}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)} est du même signe que x(x+4)(x+1)(x1)\frac{x\left(x+4\right)}{\left(x+1\right)\left(x - 1\right)}

    On obtient le tableau suivant :

    fonction homographiqueinequation

    On retrouve bien que g(x)f(x)0g\left(x\right) - f\left(x\right)\geqslant 0 a comme ensemble de solutions : S=];4]]1;0]]1;+[S=\left] - \infty ; - 4\right] \cup \left] - 1;0\right] \cup \left]1;+\infty \right[