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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Etude d'une fonction - Economie - Bac ES Liban 2008

Exercice 3

7 points - Commun à tous les candidats

Partie A : Etude d'une fonction

On considère la fonction ff définie sur [0;+[\left[0 ;+\infty \right[ par : f(x)=(x+8)e0,5xf\left(x\right)=\left(x+8\right) e^{ - 0,5x}.

On note f' sa fonction dérivée et on admet que, pour tout x de [0;+[\left[0 ;+\infty \right[, on a :

f(x)=(0,5x3)e0,5xf^{\prime}\left(x\right)=\left( - 0,5x - 3\right)e^{ - 0,5x}.

  1. Étudier le sens de variation de la fonction ff sur [0;+[\left[0 ; +\infty \right[.

  2. Démontrer que la fonction FF définie sur [0;+[\left[0 ;+\infty \right[ par F(x)=(2x20)e0,5xF\left(x\right)=\left( - 2x - 20\right) e^{ - 0,5x} est une primitive de ff sur ce même intervalle.

  3. Calculer l'intégrale I=24f(x)dxI=\int_{2}^{4}f\left(x\right)dx ; on donnera la valeur arrondie à 0,01 près.

Partie B : Applications économiques

La fonction de demande d'un produit informatique est modélisée par la fonction ff étudiée dans la partie a. Le nombre f(x)f\left(x\right) représente la quantité demandée, exprimée en milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à x centaines d'euros.

  1. Calculer le nombre d'objets demandés, à l'unité près, lorsque le prix unitaire est fixé à 200 euros.

  2. En utilisant les résultats de la partie A, déterminer la demande moyenne à 10 objets près, lorsque le prix unitaire est compris entre 200 et 400 euros.

  3. L'élasticité E(x) E(x) de la demande par rapport au prix x est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1% de x. On admet qu'une bonne approximation de E(x) E(x) est f(x)f\left(x\right) donnée par :

    E(x) E(x) = f(x)f(x)×x\frac{f^{\prime}\left(x\right)}{f\left(x\right)}\times x

    1. Démontrer que E(x) E(x) = 0,5x23xx+8\frac{ - 0,5x^{2} - 3x}{x+8}

    2. Déterminer le signe de E(x) E(x) sur [0;+[\left[0 ; +\infty \right[ et interpréter ce résultat.

    3. Calculer le prix pour lequel l'élasticité est égale à-3,5. Comment évolue la demande lorsque le prix passe de 800 à 808 euros ?