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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Famille de fonctions

On considère les fonctions fnf_n définies sur R\{1}\mathbb{R} \backslash \{1\} par :

fn(x)=1nxx1f_n(x)=\frac{1 - nx}{x - 1}

nn est un entier relatif quelconque.

On note (Cn)(C_n) la courbe représentative de fnf_n dans un repère orthonormal (O;I,J)(O;I,J).

  1. Montrer que pour tout entier nn, la courbe (Cn)(C_n) passe par le point A(0;1)A(0; - 1).

  2. Caractériser la courbe (C1)(C_{1}) représentant la fonction f1f_{1}.

  3. Déterminer, suivant les valeurs de nn, le sens de variation de la fonction fnf_n.

  4. Tracer les courbes (C0)(C_{0}), (C1)(C_{1}) et (C2)(C_{2}) dans le même repère.

  5. On note (Tn)(T_n) la tangente à la courbe (Cn)(C_{n}) au point AA.

    Donner les équations des droites (T0)(T_{0}) et (T2)(T_{2}) et tracer ces droites sur la figure précédente.

Corrigé

  1. Rappel

    Pour montrer que la courbe représentative d'une fonction ff passe par un point A(xA;yA)A(x_A;y_A), il suffit de montrer que f(xA)=yAf(x_A)=y_A

    Pour tout entier nn :

    fn(0)=1n×001=11=1f_n(0)=\frac{1 - n \times 0}{0 - 1}=\frac{1}{ - 1}= - 1

     

    Donc la courbe (Cn)(C_n) passe par le point AA de coordonnées A(0;1)A(0; - 1).

  2. Pour n=1n=1 et xR\{1}x \in \mathbb{R} \backslash \{1\} on obtient :

    f1(x)=1xx1==(x1)x1=1f_1(x)=\frac{1 - x}{x - 1}==\frac{ - (x - 1)}{x - 1}= - 1

    La fonction f1f_1 est donc constante et égale à 1 - 1 sur R\{1}\mathbb{R} \backslash \{1\}.

    Il faut toutefois faire attention au fait que f1f_1 n'est pas définie pour x=1x=1. La courbe (C1)(C_1) est donc la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point A(0;1)A(0; - 1) (d'après la question précédente) dont on a retiré le point d'abscisse 11 (voir figure à la question 4.).

  3. fnf_n est dérivable sur son ensemble de définition comme quotient de fonctions dérivables.

    fnf_n est de la forme uv\frac{u}{v} avec :

    u(x)=1nxu(x)=1 - nx donc u(x)=nu^{\prime}(x)= - n

    v(x)=x1v(x)=x - 1 donc v(x)=1v^{\prime}(x)=1

    On obtient alors :

    f(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)2f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v(x)^{\prime}}{v(x)^2}=n(x1)(1nx)(x1)2=n1(x1)2=\frac{ - n(x - 1) - (1 - nx)}{(x - 1)^2}=\frac{n - 1}{(x - 1)^2}

    ff^{\prime} est du signe de n1n - 1 :

    • si n<1n < 1, ff^{\prime} est négative sur R\{1}\mathbb{R} \backslash \{1\} donc ff est décroissante sur ];1[] - \infty ; 1[ et sur ]1;+[]1 ; +\infty[

    • si n>1n > 1, ff^{\prime} est positive sur R\{1}\mathbb{R} \backslash \{1\} donc ff est croissante sur ];1[] - \infty ; 1[ et sur ]1;+[]1 ; +\infty[

    • si n=1n=1, ff est constante sur R\{1}\mathbb{R} \backslash \{1\}. Ce cas a été traité à la question précédente.

  4. Voir graphique ci-dessous.

  5. L'équation de la tangente à (C0)(C_0) au point AA d'abscisse 00 est :

    y=f0(0)(x0)+f0(0)y=f_0^{\prime}(0)(x - 0)+f_0(0)

    Or f0(0)=1f_0(0)= - 1 (d'après la question 1.)

    et f0(x)=1(x1)2f_0^{\prime}(x)= - \frac{1}{(x - 1)^2} (d'après la question 3.) donc f0(0)=1f^{\prime}_0(0)= - 1

    L'équation de (T0)(T_0) est donc

    y=x1y= - x - 1

    De même, l'équation de (T2)(T_2) est :

    y=f2(0)(x0)+f2(0)y=f_2^{\prime}(0)(x - 0)+f_2(0)

    avec f2(0)=1f_2(0)= - 1 et f2(x)=1(x1)2f_2^{\prime}(x)=\frac{1}{(x - 1)^2} donc f2(0)=1f^{\prime}_2(0)=1

    L'équation de (T2)(T_2) est donc

    y=x1y=x - 1

    Les droites (T0)(T_0) et (T2)(T_2) sont représentées ci-dessous :

    Famille de fonctions