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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Famille de fonctions - Tableaux de variations

Soit m m un nombre réel donné et fm f_{ m } la fonction définie sur R \mathbb{R} par :

fm(x)=x2+mx2+1 f_{ m } (x) = \frac{ x^2 +m }{ x^2 +1 }

  1. Justifier que la fonction fm f_{ m } est bien définie sur R. \mathbb{R} .

  2. Étudier la parité de la fonction fm. f_{ m } .

  3. Calculer fm(x) f^{\prime}_{ m } (x) pour tout réel x x .

    1. Dans cette question, on suppose m<1. m < 1.
      Dresser le tableau de variations de la fonction fm. f_{ m } .

    2. Même question si m>1. m > 1.

    3. Que peut-on dire de la fonction f1 f_{ 1 } (obtenue pour m=1 m=1 )  ?

Corrigé

  1. Pour montrer que la fonction fm f_{ m } est définie sur R \mathbb{R}, il suffit de montrer que son dénominateur ne s'annule pas sur R. \mathbb{R} .

    Or, pour tout réel xx, x20 x^2 \geqslant 0 donc x2+11. x^2 +1 \geqslant 1.
    x2+1 x^2 + 1 n'est donc jamais nul sur R.\mathbb{R}.

  2. fm(x)=(x)2+m(x)2+1=x2+mx2+1=fm(x). f_{ m } ( - x) = \frac{ ( - x) ^2 +m }{ ( - x) ^2 +1 } = \frac{ x^2 +m }{ x^2 +1 } =f_{ m } (x) .

    La fonction fm f_{ m } est donc paire quelle que soit la valeur de m.m.

  3. Posons : u(x)=x2+m u (x) =x^2 +m et v(x)=x2+1 v (x) =x^2 +1 .

    Alors : u(x)=2x u^{\prime} (x) =2x et v(x)=2x v^{\prime} (x) =2x

    Par conséquent :

    fm(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)2 f^{\prime} _{ m } (x) = \frac{ u^{\prime} (x) v (x) - u (x) v^{\prime} (x) }{ v (x) ^2 }

    fm(x)=2x(x2+1)2x(x2+m)(x2+1)2\phantom{ f^{\prime} _{ m } (x) } = \frac{ 2x (x^2 +1) - 2x (x^2 +m) }{ \left( x^2 +1 \right) ^2 }

    fm(x)=2x(1m)(x2+1)2.\phantom{ f^{\prime} _{ m } (x) } = \frac{ 2x ( 1 - m) }{ \left( x^2 +1 \right) ^2 } .

    1. (x2+1)2 \left( x^2 +1 \right) ^2 est strictement positif quel que soit le réel x. x.

      Si m<1 m < 1, alors 1m 1 - m est strictement positif ; fm(x) f^{\prime} _{ m } (x) est donc du signe de x x .

      fm f_{ m } admet donc un maximum pour x=0 x=0 ; ce maximum est égal à :

      fm(0)=02+m02+1=m f_{ m } (0) = \frac{ 0^2 +m }{ 0^2 +1 } =m  

      D'où le tableau de variations :

      tableau de variations de la fonction f

    2. Par contre, si m>1 m > 1, 1m 1 - m est strictement négatif ; fm(x) f^{\prime} _{ m } (x) est donc du signe opposé à x x .

      fm f_{ m } admet donc un maximum pour x=0 x=0  ; le tableau de variations est alors :

      tableau de variations de la fonction f

    3. Pour m=1 m=1  :

      f1(x)=x2+1x2+1=1 f_{ 1 } (x) = \frac{ x^2 +1 }{ x^2 +1 } =1  

      La fonction f1 f_{ 1 } est donc constante et égale à 1 sur R. \mathbb{R} .