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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Equations de plans - Bac S Métropole 2008

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal (O;i,j,k)\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right), on considère les points

A(1,1,0)A\left(1 , 1 , 0\right) , B(1,2,1)B\left(1 , 2 , 1\right) et C(3,1,2)C\left(3 , - 1 , 2\right).

    1. Démontrer que les points AA, BB et CC ne sont pas alignés.

    2. Démontrer que le plan (ABC)\left(ABC\right) a pour équation cartésienne 2x+yz3=02x+y - z - 3=0.

  1. On considère les plans (P)\left(P\right) et (Q)\left(Q\right) d'équations respectives x+2yz4=0x+2y - z - 4=0 et 2x+3y2z5=02x+3y - 2z - 5=0.

    Démontrer que l'intersection des plans (P)\left(P\right) et (Q)\left(Q\right) est une droite (D)\left(D\right), dont une représentation paramétrique est :

    {x=2+ty=3z=t\left\{ \begin{matrix} x= - 2+t \\ y=3 \\ z=t \end{matrix}\right. avec (tR)\left(t\in \mathbb{R}\right)

  2. Quelle est l'intersection des trois plans (ABC)\left(ABC\right), (P)\left(P\right) et (Q)\left(Q\right) ?

  3. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

    Déterminer la distance du point AA à la droite (D)\left(D\right).

Corrigé

    1. AB(011)\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}

      AC(222)\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 \\ - 2 \\ 2 \end{pmatrix}

      Les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC} n'étant pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés.

    2. Les coordonnées des points A, B et C vérifient l'équation 2x+yz3=02x+y - z - 3=0. En effet :

      pour A : 2×1+1×11×03=02\times 1+1\times 1 - 1\times 0 - 3=0

      pour B : 2×1+1×21×13=02\times 1+1\times 2 - 1\times 1 - 3=0

      pour C : 2×3+1×(1)1×23=02\times 3+1\times \left( - 1\right) - 1\times 2 - 3=0

      Le plan (ABC) a donc pour équation cartésienne 2x+yz3=02x+y - z - 3=0.

  1. M de coordonnées (x;y;z)\left(x ; y ; z \right) appartient à PQP \cap Q si et seulement si :

    {x+2yz4=02x+3y2z5=0\left\{ \begin{matrix} x+2y - z - 4=0 \\ 2x+3y - 2z - 5=0 \end{matrix}\right.

    On pose t=zt=z et on résout le système.

    {z=tx=2y+t+44y+2t+8+3y2t5=0{z=ty=3x=2+t\left\{ \begin{matrix} z=t \\ x= - 2y+t+4 \\ - 4y+2t +8+3y - 2t - 5=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} z=t \\ y=3 \\ x= - 2+t \end{matrix}\right.

  2. Pour trouver l'intersection des 3 plans (ABC), (P) et (Q), on résout le système :

    (S){2x+yz3=0x+2yz4=02x+3y2z5=0\left(S\right) \left\{ \begin{matrix} 2x+y - z - 3=0 \\ x+2y - z - 4=0 \\ 2x+3y - 2z - 5=0 \end{matrix}\right.

    D'après la question précédente les deux dernières équations donnent y=3 ce qui permet d'accélérer la résolution :

    (S){y=32x+3z3=0x+6z4=0{x=2y=3z=4\left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y=3 \\ 2x+3 - z - 3=0 \\ x+6 - z - 4=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=3 \\ z=4 \end{matrix}\right.

    L'intersection des plans (ABC), (P) et (Q) est donc le point de coordonnées (2;3;4)\left(2 ; 3 ; 4\right).

  3. Soit M un point de (D). Ses coordonnées (x;y;z)\left(x;y;z\right) sont de la forme :

    {x=2+ty=3z=t\left\{ \begin{matrix} x= - 2+t \\ y=3 \\ z=t \end{matrix}\right.

    La distance de A à (D) est le minimum de la distance AM lorsque M décrit (D).

    Or :

    AM2=(3+t)2+(31)2+t2=t26t+9+4+t2=2t26t+13AM^{2}=\left( - 3+t\right)^{2}+\left(3 - 1\right)^{2}+t^{2}=t^{2} - 6t+9+4+t^{2} =2t^{2} - 6t+13

    AM2AM^{2} est un polynôme du second degré en tt qui atteint son minimum pour t=b2a=32t= - \frac{b}{2a}=\frac{3}{2}

    Ce minimum vaut alors :

    AM02=2(32)26(32)+13=172AM_{0}^{2}=2\left(\frac{3}{2}\right)^{2} - 6\left(\frac{3}{2}\right)+13=\frac{17}{2}

    La distance de A à (D) est donc :

    AM0=172=342AM_{0}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{34}}{2}