Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Une équation du troisième degré

Soit la fonction polynôme ff définie par :

f(x)=x34x+3f\left(x\right)=x^{3} - 4x+3

  1. Calculer f(1)f\left(1\right).

  2. Déterminer les réels aa et bb tels que, pour tout réel xx : f(x)=(x1)(x2+ax+b)f\left(x\right)=\left(x - 1\right)\left(x^{2}+ax+b\right)

  3. En déduire les racines de ff.

Corrigé

  1. f(1)=134×1+3=14+3=0f\left(1\right)=1^{3} - 4\times 1+3=1 - 4+3=0

  2. (x1)(x2+ax+b)=x3+ax2+bxx2axb\left(x - 1\right)\left(x^{2}+ax+b\right)=x^{3}+ax^{2}+bx - x^{2} - ax - b

    On regroupe suivant les puissances de xx :

    (x1)(x2+ax+b)=x3+ax2x2+bxaxb=x3+(a1)x2+(ba)xb\left(x - 1\right)\left(x^{2}+ax+b\right)=x^{3}+ax^{2} - x^{2}+bx - ax - b=x^{3}+\left(a - 1\right)x^{2}+\left(b - a\right)x - b

    Ce polynôme est identique au polynôme ff si et seulement si il a les mêmes coefficients, c'est à dire :

    {a1=0ba=4b=3\left\{ \begin{matrix} a - 1=0 \\ b - a= - 4 \\ - b=3 \end{matrix}\right.

    ce qui donne b=3b= - 3 et a=1a=1

    On a donc f(x)=(x1)(x2+x3)f\left(x\right)=\left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right)

  3. Trouver les racines de ff, c'est résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0.

    (x1)(x2+x3)=0\left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right)=0 est une équation "produit nul" :

    (x1)(x2+x3)=0x1=0\left(x - 1\right)\left(x^{2}+x - 3\right)=0 \Leftrightarrow x - 1=0 ou x2+x3=0x^{2}+x - 3=0

    La première équation a pour solution x=1x=1 (ce qui confirme la réponse de la question 1.) et la seconde admet comme solutions :

    x1=1+132x_{1} = \frac{ - 1+\sqrt{13}}{2}

    x2=1132x_{2} = \frac{ - 1 - \sqrt{13}}{2} (voir détail résolution).

    ff admet donc 3 racines : 1,1+132,11321, \frac{ - 1+\sqrt{13}}{2}, \frac{ - 1 - \sqrt{13}}{2}.