Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Equation du second degré avec paramètre

On considère l'équation (E) d'inconnue xx :

x2mx+14=0x^{2} - mx+\frac{1}{4}=0

mm est réel ( mm est appelé paramètre )

Discuter du nombre de solution(s) de (E) selon les valeurs de mm.

Corrigé

Le discriminant du polynôme x2mx+14=0x^{2} - mx+\frac{1}{4}=0 est

Δ=(m)24×1×14\Delta =\left( - m\right)^{2} - 4\times 1\times \frac{1}{4}

Δ=m21\Delta =m^{2} - 1

Δ=(m1)(m+1)\Delta =\left(m - 1\right)\left(m+1\right)

Δ\Delta est un polynôme du second degré en mm. Ses racines sont 1 - 1 et 11.

Δ\Delta est strictement positif ( « du signe de aa » ) sur ];1[\left] - \infty ; - 1\right[ et sur ]1;+[\left]1;+\infty \right[

Δ\Delta est strictement négatif ( « du signe opposé de aa » ) sur ]1;1[\left] - 1;1\right[

Donc :

  • si m<1m < - 1 ou m>1m > 1 : l'équation (E) possède deux solutions :

    x1=m+m212x_{1}=\frac{m+\sqrt{m^{2} - 1}}{2} et x2=mm212 x_{2}=\frac{m - \sqrt{m^{2} - 1}}{2}

     

  • si 1<m<1 - 1 < m < 1 : l'équation (E) ne possède aucune solution  

  • si m=1m= - 1 ou m=1m=1 : l'équation (E) ne possède une unique solution:

    x0=m2x_{0}=\frac{m}{2}