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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Cryptographie - Bac S Pondichéry 2016 (spé)

Exercice 3 - 5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère les matrices MM de la forme M=(ab53)M = \begin{pmatrix}a&b \\ 5&3\end{pmatrix}aa et bb sont des nombres entiers.

Le nombre 3a5b3a - 5b est appelé le déterminant de MM. On le note det(M)(M).

Ainsi det(M)=3a5b(M) = 3a - 5b.

  1. Dans cette question on suppose que det(M)0(M) \ne 0 et on pose N=1det(M)(3b5a)N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3& - b \\ - 5&a\end{pmatrix}.

    Justifier que NN est l'inverse de MM.

  2. On considère l'équation (E):det(M)=3(E) :\quad \text{det}(M) = 3.

    On souhaite déterminer tous les couples d'entiers (a ; b)(a~;~b) solutions de l'équation (E)(E).

    1. Vérifier que le couple (6 ; 3)(6~;~3) est une solution de (E)(E).

    2. Montrer que le couple d'entiers (a ; b)(a~;~b) est solution de (E)(E) si et seulement si3(a6)=5(b3)3(a - 6) = 5(b - 3).

      En déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E)(E).

Partie B

  1. On pose Q=(6353)Q = \begin{pmatrix}6 & 3 \\ 5 & 3\end{pmatrix}.

    En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de QQ.

  2. Codage avec la matrice QQ

    Pour coder un mot de deux lettres à l'aide de la matrice Q=(6353)Q = \begin{pmatrix}6 &3 \\ 5& 3\end{pmatrix} on utilise la procédure ci-après :

    Étape 1 : On associe au mot la matrice X=(x1x2)X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}x1x_1 est l'entier correspondant à la première lettre du mot et x2x_2 l'entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :

    A B C D E F G H I J K L M
    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    N O P Q R S T U V W X Y Z
    13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

    Étape 2 : La matrice XX est transformée en la matrice Y=(y1y2)Y = \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix} telle que Y=QXY = QX.

    Étape 3 : La matrice YY est transformée en la matrice R=(r1r2)R = \begin{pmatrix}r_1 \\ r_2\end{pmatrix} telle que r1r_1 est le reste de la division euclidienne de y1y_1 par 26 et r2r_2 est le reste de la division euclidienne de y2y_2 par 26.

    Étape 4 : À la matrice R=(r1r2)R = \begin{pmatrix}r_1 \\ r_2\end{pmatrix} on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l'étape 1.

    Exemple : JEX=(94)Y=(6657)R(145) \to X = \begin{pmatrix}9 \\ 4\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}66 \\ 57\end{pmatrix} \to R \begin{pmatrix}14 \\ 5\end{pmatrix} \to OF.

    Le mot JE est codé en le mot OF.

    Coder le mot DO.

  3. Procédure de décodage On conserve les mêmes notations que pour le codage.

    Lors du codage, la matrice XX a été transformée en la matrice YY telle que Y=QXY = QX.

    1. Démontrer que 3X=3Q1Y3X = 3Q^{ - 1}Y puis que {3x13r13r2[26]3x25r1+6r2[26]\begin{cases} 3x_1 \equiv 3r_1 - 3r_2 \quad [26]\\ 3x_2 \equiv - 5r_1+6r_2 \quad [26] \end{cases}

    2. En remarquant que 9×31[26]9 \times 3 \equiv 1 \quad [26], montrer que {x1r1r2[26]x27r1+2r2[26]\begin{cases} x_1 \equiv r_1 - r_2 \quad [26] \\ x_2 \equiv 7r_1+2r_2 \quad [26] \end{cases}

    3. Décoder le mot SG.