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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Convexité et point d'inflexion

Soient la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2ex1x2xf\left(x\right)=2e^{x - 1} - x^{2} - x et C\mathscr C sa courbe représentative.

  1. Calculer f(x)f^{\prime}\left(x\right) et f(x)f^{\prime\prime}\left(x\right)

  2. Etudier la convexité de la fonction ff.

  3. Montrer que ff admet un point d'inflexion AA et préciser les coordonnées de AA.

  4. Quelle est l'équation de la tangente à C\mathscr C au point AA?

    En déduire que pour tout x1x\geqslant 1 : ex112(x2+1)e^{x - 1}\geqslant \frac{1}{2}\left(x^{2}+1\right)

Corrigé

  1. ff est dérivable sur R\mathbb{R} et :

    f(x)=2ex12x1f^{\prime}\left(x\right)=2e^{x - 1} - 2x - 1

    ff^{\prime} est également dérivable sur R\mathbb{R} et :

    f(x)=2ex12f^{\prime\prime}\left(x\right)=2e^{x - 1} - 2

  2. ff est convexe si et seulement si :

    f(x)02ex120f^{\prime\prime}\left(x\right)\geqslant 0 \Leftrightarrow 2e^{x - 1} - 2\geqslant 0

    2ex12 \Leftrightarrow 2e^{x - 1}\geqslant 2

    ex11 \Leftrightarrow e^{x - 1}\geqslant 1

    ex1e0 \Leftrightarrow e^{x - 1}\geqslant e^{0}

    x10 \Leftrightarrow x - 1\geqslant 0   (car la fonction exponentielle est strictement croissante)

    x1 \Leftrightarrow x\geqslant 1

    Donc ff est convexe sur [1;+[\left[1;+\infty \right[

    Inversement, ff est concave si et seulement si x1x\leqslant 1

  3. Le point d'inflexion correspond au passage de connexe à concave (ou de concave à connexe). D'après la question précédente, le point d'inflexion est le point de la courbe qui a comme abscisse 11.

    L'ordonnée de ce point est f(1)=2e0121=0f\left(1\right)=2e^{0} - 1^{2} - 1=0

    Le point d'inflexion est donc A(1;0)A\left(1;0\right)

    Convexité et point d'inflexion

  4. L'équation de la tangente (T) à C\mathscr C au point A(1;0)A\left(1;0\right) est donnée par la formule :

    y=f(1)(x1)+f(1)y=f^{\prime}\left(1\right)\left(x - 1\right)+f\left(1\right)

    avec f(1)=2e02×11=1f^{\prime}\left(1\right)=2e^{0} - 2\times 1 - 1= - 1 et f(1)=0f\left(1\right)=0

    ce qui donne :

    y=x+1y= - x+1

  5. Pour x1x\geqslant 1 la fonction est convexe, donc la courbe est situé au-dessus de la tangente (T).

    Cela se traduit par : f(x)x+1f\left(x\right)\geqslant - x+1

    c'est à dire :

    2ex1x2xx+12e^{x - 1} - x^{2} - x\geqslant - x+1

    2ex1x2+xx+12e^{x - 1}\geqslant x^{2}+x - x+1

    2ex1x2+12e^{x - 1}\geqslant x^{2}+1

    ex112(x2+1)e^{x - 1}\geqslant \frac{1}{2}\left(x^{2}+1\right)