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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Calcul littéral : Simplification de fractions

Pour chacune des expressions suivantes :

  1. préciser son ensemble de définition ;

  2. simplifier la fraction ;

  3. donner l'ensemble de définition de la fraction simplifiée.

  1. A=x24(x1)(x+2)A=\dfrac{x^2 - 4}{(x - 1)(x+2)}

  2. B=(x+1)(x5)+(x+1)2x2+2x+1B=\dfrac{(x+1)(x - 5)+(x+1)^2}{x^2+2x+1}

  3. C=x41(x1)(2x+1)C=\dfrac{x^4 - 1}{(x - 1)(2x+1)}

Corrigé

Pour la question b. de ces exercices, la méthode consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur et à simplifier par le(s) facteur(s) commun(s) au numérateur et au dénominateur.

  1. A=x24(x1)(x+2)A=\dfrac{x^2 - 4}{(x - 1)(x+2)}

    1. La fraction AA est définie si et seulement si son dénominateur est non nul.

      Or :

      (x1)(x+2)=0x1=0 ou x+2=0(x - 1)(x+2)=0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \text{ ou } x+2=0

      (x1)(x+2)=0x=1 ou x=2.\phantom{(x - 1)(x+2)=0} \Leftrightarrow x = 1 \text{ ou } x= - 2.

      Donc l'ensemble de définition de AA est DA=R\{2 ; 1}.\mathscr{D}_A=\mathbb{R} \backslash \{ - 2~;~1\}.

    2. On factorise le numérateur à l'aide de l'identité remarquable a2b2=(ab)(a+b)a^2 - b^2=(a - b)(a+b) :

      x24=(x2)(x+2)x^2 - 4=(x - 2)(x+2)

      Par conséquent pour tout réel xDA :x \in \mathscr{D}_A~:

      A=(x2)(x+2)(x1)(x+2)A=\dfrac{(x - 2)(x+2)}{(x - 1)(x+2)}=x2x1= \dfrac{x - 2}{x - 1}

    3. La fraction simplifiée est définie si et seulement si x1x \neq 1 donc sur R\{ 1}.\mathbb{R} \backslash \{~1\}.

  2. B=(x+1)(x5)+(x+1)2x2+2x+1B=\dfrac{(x+1)(x - 5)+(x+1)^2}{x^2+2x+1}

    1. Le dénominateur se factorise grâce à l'identité remarquable a2+2ab+b2=(a+b)2 :a^2+2ab+b^2=(a+b)^2~:

      x2+2x+1=(x+1)2x^2+2x+1=(x+1)^2

      Le dénominateur est différent de zéro si et seulement si x1x \neq - 1 donc DB=R\{1}.\mathscr{D}_B=\mathbb{R} \backslash \{ - 1\}.

    2. On peut mettre (x+1)(x+1) en facteur au numérateur :

      (x+1)(x5)+(x+1)2=(x+1)[(x5)+(x+1)](x+1)(x - 5)+(x+1)^2=(x+1)\left[(x - 5)+(x+1)\right]

      (x+1)(x5)+(x+1)2=(x+1)(2x4).\phantom{(x+1)(x - 5)+(x+1)^2}=(x+1)(2x - 4).

      Par conséquent, pour tout réel xDBx \in \mathscr{D}_B :

      B=(x+1)(x5)+(x+1)2(x+1)2B=\dfrac{(x+1)(x - 5)+(x+1)^2}{(x+1)^2}

      B=(x+1)(2x4)(x+1)2\phantom{B}=\dfrac{(x+1)(2x - 4)}{(x+1)^2}

      B=2x4x+1.\phantom{B}=\dfrac{2x - 4}{x+1}.

    3. L'ensemble de définition de la fraction simplifiée est encore R\{1}.\mathbb{R} \backslash \{ - 1\}.

  3. C=x41(x1)(2x+1)C=\dfrac{x^4 - 1}{(x - 1)(2x+1)}

    1. Le dénominateur est non nul si et seulement si x1x \neq 1 et x12.x \neq - \dfrac{1}{2}.. Donc DC=R\{12 ; 1}.\mathscr{D}_C=\mathbb{R} \backslash \left\{ - \dfrac{1}{2}~;~1\right\}.

    2. x41x^4 - 1 se factorise de la manière suivante  :

      x41=(x2)212=(x21)(x2+1)x^4 - 1=(x^2)^2 - 1^2=(x^2 - 1)(x^2+1)=(x1)(x+1)(x2+1).=(x - 1)(x+1)(x^2+1).

      Remarque : x2+1x^2+1 ne peut pas être factorisé dans R.\mathbb{R}.

      On en déduit que :

      C=(x1)(x+1)(x2+1)(x1)(2x+1)C=\dfrac{(x - 1)(x+1)(x^2+1)}{(x - 1)(2x+1)}=(x+1)(x2+1)2x+1=\dfrac{(x+1)(x^2+1)}{2x+1}

    3. La fraction simplifiée est définie sur l'ensemble R\{12}.\mathbb{R} \backslash \left\{ - \dfrac{1}{2} \right\}.