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Angles orientés dans un pentagone

ABCDEABCDE est un pentagone régulier direct inscrit dans le cercle de centre OO (« direct » signifie que les points A,B,C,D,EA,B,C,D,E suivent le sens trigonométrique).

Angles orientés et pentagone

  1. Calculer les mesures principales en radians des angles (DO→,OB→)\left(\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB}\right), (BO→,BA→)\left(\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{BA}\right) et (DO→,AB→)\left(\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{AB}\right).

  2. Démontrer que les droites (DO)(DO) et (EC)(EC) sont perpendiculaires.

    1. Déduire des deux premières questions que OB→+OA→\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA} d'une part et OC→+OE→\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OE} d'autre part sont colinéaires à OD→\overrightarrow{OD}

    2. Déduire du a. que le vecteur OA→+OB→+OC→+OD→+OE→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} est colinéaire au vecteur OD→\overrightarrow{OD}

  4. En suivant une démarche analogue, démontrer que les vecteurs OB→+OC→\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}, OD→+OA→\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA} et OA→+OB→+OC→+OD→+OE→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE} sont colinéaires au vecteur OE→\overrightarrow{OE}.

  5. Déduire des questions précédentes que: OA→+OB→+OC→+OD→+OE→=0→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}

Corrigé

pdf Solution rédigée par Paki

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