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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Vecteurs et droites

1. Vecteurs et repère cartésien

Définition (Vecteurs colinéaires)

On dit que deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires s'il existe un réel kk tel que v⃗=ku⃗\vec{v} = k\vec{u}

Vecteurs colinéaires

Vecteurs colinéaires

Remarques

  • Par convention, on considère que le vecteur nul est colinéaire est tout vecteur du plan

  • Deux vecteurs colinéaires ont la même «direction» ; ils ont le même sens si k>0k > 0 et sont de sens contraire si k<0k < 0.

Définition

On dit que le vecteur non nul u⃗\vec{u} est un vecteur directeur de la droite dd si et seulement si il existe deux points AA et BB de dd tels que u⃗=AB→\vec{u}=\overrightarrow{AB}.

vecteur directeur

Vecteur directeur

Propriété

Trois points distincts A,BA, B et CC sont alignés si et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.

Propriété

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

Théorème et définitions

Soient OO un point et i⃗\vec{i} et j⃗\vec{j} deux vecteurs non colinéaires du plan.

Le triplet (O;i⃗,j⃗)\left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) s'appelle un repère cartésien du plan.

  • Pour tout point MM du plan, il existe deux réels xx et yy tels que :

    OM→=xi⃗+yj⃗\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}

  • Pour tout vecteur u⃗\vec{u} du plan, il existe deux réels xx et yy tels que :

    u⃗=xi⃗+yj⃗\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}

Le couple (x;y)\left(x ; y\right) s'appelle le couple de coordonnées du point MM (ou du vecteur u⃗\vec{u}) dans le repère (O;i⃗,j⃗)\left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right)

Coordonnées dans un repère cartésien

Coordonnées dans un repère cartésien

Remarque

Dans ce chapitre, les repères utilisés ne seront pas nécessairement orthonormés.

L'étude spécifique des repères orthonormés sera détaillée dans le chapitre «produit scalaire»

Propriétés

On se place dans un repère (O;i⃗,j⃗)\left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right).

Soient deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ; y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ; y_{B}\right), alors :

  • Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a pour coordonnées (xB−xA;yB−yA)\left(x_{B} - x_{A} ; y_{B} - y_{A}\right)

  • Le milieu MM de [AB]\left[AB\right] a pour coordonnées M(xA+xB2;yA+yB2)M \left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2} ; \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)

Théorème

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs de coordonnées respectives (x;y)\left(x ; y\right) et (x′;y′)\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) dans un repère (O;i⃗,j⃗)\left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right). Les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est à dire si et seulement si :

xy′−x′y=0xy^{\prime} - x^{\prime}y=0

2. Équations de droites

Dans cette partie, on se place dans un repère (O;i⃗,j⃗)\left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right) (non nécessairement orthonormé).

Théorème

Soit dd une droite passant par un point AA et de vecteur directeur u⃗\vec{u}.

Un point MM appartient à la droite dd si et seulement si les vecteurs AM→\overrightarrow{AM} et u⃗\vec{u} sont colinéaires.

Exemple

Soient le point A(0;1)A\left(0;1\right) et le vecteur u⃗(1;−1)\vec{u}\left(1; - 1\right). Le point M(x;y)M\left(x ; y\right) appartient à la droite passant par AA et de vecteur directeur u⃗\vec{u} si et seulement si AM→\overrightarrow{AM} et u⃗\vec{u} sont colinéaires. Or les coordonnées de AM→\overrightarrow{AM} sont (x;y−1)\left(x ; y - 1\right) donc :

M∈d⇔x×(−1)−(y−1)×1=0⇔−x−y+1=0M \in d \Leftrightarrow x\times \left( - 1\right) - \left(y - 1\right)\times 1=0 \Leftrightarrow - x - y+1=0

Cette dernière égalité s'appelle une équation cartésienne de la droite dd.

Théorème

Toute droite du plan possède une équation cartésienne du type :

ax+by+c=0 ax+by+c=0

où a,ba, b et cc sont trois réels.

Réciproquement, l'ensemble des points M(x;y)M\left(x ; y\right) tels que ax+by+c=0ax+by+c=0 où a,ba, b et cc sont trois réels avec a≠0a\neq 0 ou b≠0b\neq 0 est une droite.

Remarques

  • Une droite possède une infinité d'équation cartésienne (il suffit de multiplier une équation par un facteur non nul pour obtenir une équation équivalente).

  • Si b≠0b\neq 0 l'équation peut s'écrire :

    ax+by+c=0⇔by=−ax−c⇔y=−abx−cbax+by+c= 0 \Leftrightarrow by= - ax - c \Leftrightarrow y= - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b}

    qui est de la forme y=mx+py=mx+p (en posant m=−abm= - \frac{a}{b} et p=−cbp= - \frac{c}{b}).

    Cette forme est appelée équation réduite de la droite.

    Ce cas correspond à une droite qui n'est pas parallèle. à l'axe des ordonnées.

  • Si b=0b=0 et a≠0a\neq 0 l'équation peut s'écrire :

    ax+c=0⇔ax=−c⇔x=−caax+c= 0 \Leftrightarrow ax= - c \Leftrightarrow x= - \frac{c}{a}

    qui est du type x=kx=k (en posant k=−cak= - \frac{c}{a})

    Ce cas correspond à une droite qui est parallèle. à l'axe des ordonnées.

Propriété

Soit dd une droite d'équation ax+by+c=0ax+by+c=0.

Le vecteur u⃗\vec{u} de coordonnées (−b;a)\left( - b ; a\right) est un vecteur directeur de la droite dd.

Démonstration

Voir exercice : « Equation cartésienne - Vecteur directeur ».

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