Vecteurs et coordonnées
Définitions
Un repère du plan est déterminé par un point quelconque O, appelé origine du repère, et deux vecteurs i⃗ et j⃗ non colinéaires.
Définitions
On dit que le repère (O;i⃗,j⃗) est :
orthogonal : si les vecteurs i⃗ et j⃗ sont orthogonaux
orthonormé ou orthonormal : si le repère est orthogonal et si les vecteurs i⃗ et j⃗ ont la même norme.
Définitions
Soit (O;i⃗,j⃗) un repère du plan.
On dit que M a pour coordonnées (x;y) si et seulement si :
OM=xi⃗+yj⃗
On dit que u⃗ a pour coordonnées (xy) si et seulement si :
u⃗=xi⃗+yj⃗
Par la suite, on considère que le plan P est muni d'un repère (O;i⃗,j⃗).
Propriété
Deux vecteurs u⃗ et v⃗ sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
Propriété
Soient A(xA;yA) et B(xB;yB). Le vecteur AB a pour coordonnées (xB−xAyB−yA)
Exemple
Soient A(1;1),B(4;2),C(5;0),D(2;−1)
Les coordonnées de AB sont (4−12−1)=(31)
Les coordonnées de DC sont (5−20−(−1))=(31)
AB=DC donc ABCD est un parallélogramme. ( voir Généralités sur les vecteurs )
Propriétés
Soient deux vecteurs u⃗(xy) et v⃗(x′y′).
Le vecteur u⃗+v⃗ a pour coordonnées (x+x′y+y′)
Le vecteur ku⃗ a pour coordonnées (kxky)
Propriété
Colinéarité
Deux vecteurs non nuls u⃗(xy) et v⃗(x′y′) sont colinéaires si et seulement si:
xy′−yx′=0
Propriété
Milieu d'un segment
Si A(xA;yA) et B(xB;yB), le milieu M de [AB] a pour coordonnées :
M(2xA+xB;2yA+yB)
Propriété
Norme et distance
Soit un vecteur u⃗(xy). Alors :
∣∣u⃗∣∣=√x2+y2
On en déduit si A(xA;yA) et B(xB;yB) :
AB=∣∣AB∣∣=√(xB−xA)2+(yB−yA)2
Exemple
Soient A(1;0),B(3;1),C(0;2).
Que peut-on dire du triangle ABC ?
AB=√22+12=√5
AC=√(−1)2+22=√5
BC=√(−3)2+12=√10
Donc AB=AC
De plus :
AB2+AC2=5+5=10
BC2=10
Le triangle ABC est donc rectangle en A (réciproque du théorème de Pythagore) et isocèle.