Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

Variations d'une fonction - Fonctions associées

I - Rappels

Définitions

On dit qu'une fonction ff définie sur un intervalle II est :

  • croissante sur l'intervalle II: si pour tous réels x1x_{1} et x2x_{2} appartenant à II tels que x1⩽x2x_{1}\leqslant x_{2} on a f(x1)⩽f(x2)f\left(x_{1}\right)\leqslant f\left(x_{2}\right).

  • décroissante sur l'intervalle II: si pour tous réels x1x_{1} et x2x_{2} appartenant à II tels que x1⩽x2x_{1} \leqslant x_{2} on a f(x1)⩾f(x2)f\left(x_{1}\right) \geqslant f\left(x_{2}\right).

  • strictement croissante sur l'intervalle II: si pour tous réels x1x_{1} et x2x_{2} appartenant à II tels que x1<x2x_{1} < x_{2} on a f(x1)<f(x2)f\left(x_{1}\right) < f\left(x_{2}\right).

  • strictement décroissante sur l'intervalle II: si pour tous réels x1x_{1} et x2x_{2} appartenant à II tels que x1<x2x_{1} < x_{2} on a f(x1)>f(x2)f\left(x_{1}\right) > f\left(x_{2}\right).

Fonctions croissante et décroissante

Remarques

  • Une fonction qui dont le sens de variations ne change pas sur II (c'est à dire qui est soit croissante sur II soit décroissante sur II) est dite monotone sur II.

  • Une fonction constante (x↦kx\mapsto k où kk est un réel fixé) est à la fois croissante et décroissante mais n'est ni strictement croissante, ni strictement décroissante.

Propriété

Une fonction affine f:x↦ax+bf : x\mapsto ax+b est croissante si son coefficient directeur aa est positif ou nul, et décroissante si son coefficient directeur est négatif ou nul.

Remarque

Si le coefficient directeur d'une fonction affine est nul la fonction est constante.

II - Fonction associées

Fonctions u+ku+k

Soit uu une fonction définie sur une partie D\mathscr D de R\mathbb{R} et k∈Rk \in \mathbb{R}

On note u+ku+k la fonction définie sur D\mathscr D par :

u+k:x↦u(x)+ku+k : x\mapsto u\left(x\right)+k

Propriété

Quel que soit k∈Rk \in \mathbb{R}, u+ku+k a le même sens de variation que uu sur D\mathscr D.

Exemple

Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−1f\left(x\right)=x^{2} - 1.

Si on note uu la fonction carrée définie sur R\mathbb{R} par u:x↦x2u : x \mapsto x^{2}

on a f=u−1f = u - 1

Le sens de variation de ff est donc identique à celui de uu d'après la propriété précédente.

Donc

  • ff est décroissante sur l'intervalle ]−∞;0]\left] - \infty ; 0\right]

  • ff est croissante sur l'intervalle [0;+∞[\left[0 ; +\infty \right[

Tableau de variation x²-1

Fonctions k×uk\times u

Soit uu une fonction définie sur une partie D\mathscr D de R\mathbb{R} et k∈Rk \in \mathbb{R}

On note kuku la fonction définie sur D\mathscr D par :

ku:x↦k×u(x)ku : x\mapsto k\times u\left(x\right)

Propriété

  • si k>0k > 0, kuku a le même sens de variation que uu sur D\mathscr D.

  • si k<0k < 0, le sens de variation de kuku est le contraire de celui de uu sur D\mathscr D.

Exemple

Soit ff définie sur ]−∞;0[∪]0;+∞[\left] - \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[ par f(x)=−1xf\left(x\right)= - \frac{1}{x}.

Si on note uu la fonction inverse définie sur ]−∞;0[∪]0;+∞[\left] - \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[ par u:x↦1xu : x \mapsto \frac{1}{x}

on a f=−1×uf = - 1\times u

Comme −1 - 1 est négatif, le sens de variation de ff est inverse de celui de uu sur chacun des intervalles ]−∞;0[\left] - \infty ; 0\right[ et ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[

Donc ff est croissante sur l'intervalle ]−∞;0]\left] - \infty ; 0\right] et sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[

tableau de variation fonction inverse négative

Fonctions u\sqrt{u}

Soit uu une fonction définie sur une partie D\mathscr D de R\mathbb{R}.

On note u\sqrt{u} la fonction définie, pour tout xx de D\mathscr D tel que u(x)⩾0u\left(x\right) \geqslant 0, par :

u:x↦u(x)\sqrt{u} : x\mapsto \sqrt{u\left(x\right)}

Propriété

u\sqrt{u} a le même sens de variation que uu sur tout intervalle où uu est positive.

Exemple

Soit f:x↦x−2f : x \mapsto \sqrt{x - 2}

ff est définie si et seulement si x−2⩾0x - 2 \geqslant 0, c'est à dire sur D=[2;+∞[\mathscr D=\left[2 ; +\infty \right[

Sur l'intervalle D\mathscr D la fonction ff est croissante car la fonction x↦x−2x \mapsto x - 2 l'est (fonction affine dont le coefficient directeur est positif).

Tableau de variation sqrt(x-2)

Fonctions 1u\frac{1}{u}

Soit uu une fonction définie sur une partie D\mathscr D de R\mathbb{R}.

On note 1u\frac{1}{u} la fonction définie pour tout xx de D\mathscr D tel que u(x)≠0u\left(x\right) \neq 0 par :

1u:x↦1u(x)\frac{1}{u} : x\mapsto \frac{1}{u\left(x\right)}

Propriété

1u\frac{1}{u} a le sens de variation contraire de uu sur tout intervalle où uu ne s'annule pas et garde un signe constant.

Exemple

Soit f:x↦1x+1 f : x \mapsto \frac{1}{x+1}

ff est définie si et seulement si x+1≠0x+1 \neq 0, c'est à dire sur D=]−∞;−1[∪]−1;+∞[\mathscr D=\left] - \infty ; - 1\right[ \cup \left] - 1 ; +\infty \right[

La fonction x↦x+1x \mapsto x+1 est croissante sur R\mathbb{R}

Sur l'intervalle ]−∞;−1[\left] - \infty ; - 1\right[ la fonction x↦x+1x \mapsto x+1 est strictement négative (donc a un signe constant).

Sur l'intervalle ]−1;+∞[\left] - 1 ; +\infty \right[ la fonction x↦x+1x \mapsto x+1 est strictement positive (donc a un signe constant).

Donc ff est strictement décroissante sur chacun des intervalles ]−∞;−1[\left] - \infty ; - 1\right[ et ]−1;+∞[ \left] - 1 ; +\infty \right[

Tableau de variation 1/(x+1)

Dans ce chapitre :

Cours

Exercices