Suites et récurrence

I - Démonstration par récurrence

Théorème

Soit $P\left(n\right)$ une proposition qui dépend d'un entier naturel $n$ .

Si $P\left(n_{0}\right)$ est vraie (initialisation)
Et si $P\left(n\right)$ vraie entraîne $P\left(n+1\right)$ vraie (hérédité)

alors la propriété $P\left(n\right)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant n_{0}$

Remarques

La démonstration par récurrence s'apparente au "principe des dominos" :
L'étape d'initialisation est souvent facile à démontrer ; toutefois, faites attention à ne pas l'oublier !
Pour prouver l'hérédité, on suppose que la propriété est vraie pour un certain entier $n$ (cette supposition est appelée hypothèse de récurrence) et on démontre qu'elle est alors vraie pour l'entier $n+1$ . Pour cela, il est conseillé d'écrire ce que signifie $P\left(n+1\right)$ (que l'on souhaite démontrer), en remplaçant $n$ par $n+$ 1 dans la propriété $P\left(n\right)$

Exemple

Montrons que pour tout entier n strictement positif $1+2+. . .+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$ .

Initialisation

On commence à $n_{0}=1$ car l'énoncé précise "strictement positif".

La proposition devient :

$1=\frac{1\times 2}{2}$

ce qui est vrai.

Hérédité

On suppose que pour un certain entier $n$ :

$1+2+. . .+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$ (Hypothèse de récurrence)

et on va montrer qu'alors :

$1+2+. . .+n+1=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}$ (on a remplacé $n$ par $n+1$ dans la formule que l'on souhaite prouver).

Isolons le dernier terme de notre somme

$1+2+. . .+n+1=\left(1+2+. . . +n\right) + n+1$

On applique maintenant notre hypothèse de récurrence à $1+2+. . . +n$ :

$1+2+. . .+n+1=\frac{n\left(n+1\right)}{2}+n+1=\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{2\left(n+1\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)}{2}$

$1+2+. . .+n+1=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}$

ce qui correspond bien à ce que nous voulions montrer.

En conclusion nous avons bien prouvé que pour pour tout entier n strictement positif :

$1+2+. . .+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$ .

II - Sens de variation - Suites majorées, minorées

Définitions (rappel)

On dit que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \geqslant u_{n}$
On dit que la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} > u_{n}$
On dit que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \leqslant u_{n}$
On dit que la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement décroissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} < u_{n}$
On dit que la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = u_{n}$

Définitions

On dit que la suite $\left(u_{n}\right)$ est majorée par le réel $M$ si tout entier naturel $n$ : $u_{n} \leqslant M$ .

$M$ s'appelle alors un majorant de la suite $\left(u_{n}\right)$
On dit que la suite $\left(u_{n}\right)$ est minorée par le réel $m$ si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} \geqslant m$ .

$m$ s'appelle un minorant de la suite $\left(u_{n}\right)$

Remarque

Si la suite $\left(u_{n}\right)$ est majorée (ou minorée), les majorants (ou minorants) ne sont pas uniques. Bien au contraire, si $M$ est un majorant de la suite $\left(u_{n}\right)$ , tout réel supérieur à $M$ est aussi un majorant de la suite $\left(u_{n}\right)$

Exemple

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :

$\left\{ \begin{matrix} u_{0}=1 \\ u_{n+1} =u_{n}^{2}+1 \end{matrix}\right.\text{pour tout} n \in \mathbb{N}$

On vérifie aisément que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n}$ est supérieur ou égal à $1$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est minorée par $1$ . Par contre cette suite n'est pas majorée (on peut, par exemple, démonter par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ $u_{n} > n$ .

III - Convergence - Limite

Définition

On dit que la suite $(u_{n})$ converge vers le nombre réel $l$ (ou admet pour limite le nombre réel $l$ ) si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On note alors $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=l$

Exemple

$suite convergente$

Suite convergeant vers $l$

Remarques

Une suite qui n'est pas convergente (c'est à dire qui n'a pas de limite ou qui a une limite infinie - voir ci-dessous) est dite divergente.
La limite, si elle existe, est unique.

Exemple

Les suites définies pour $n > 0$ par $u_{n}=\frac{1}{n^{k}}$ où $k$ est un entier strictement positif, convergent vers zéro

Définition

On dit que la suite $u_{n}$ admet pour limite $+\infty$ si tout intervalle de la forme $\left]A;+\infty \right[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Exemple

Les suites définies pour $n > 0$ par $u_{n}=n^{k}$ où $k$ est un entier strictement positif, divergent vers $+\infty$

Théorème (des gendarmes)

Si les suites $\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ convergent vers la même limite $l$ et si $v_{n}\leqslant u_{n}\leqslant w_{n}$ pour tout entier $n$ à partir d'un certain rang, alors la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $l$ .

Exemple

Soit la suite définie pour $n > 0$ par $u_{n}=\frac{\sin\left(n\right)}{n}$ .

On sait que pour tout $n$ , $- 1\leqslant \sin\left(n\right)\leqslant 1$ donc $- \frac{1}{n}\leqslant \frac{\sin\left(n\right)}{n}\leqslant \frac{1}{n}$ .

Or les suites $\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $v_{n}= - \frac{1}{n}$ et $w_{n}=\frac{1}{n}$ convergent vers zéro donc, d'après le théorème des gendarmes $\left(u_{n}\right)$ converge vers zéro.

Théorème

Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ telles que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n}\geqslant v_{n}$ .

Si $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=+\infty$ , alors $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$

Théorème (de convergence monotone)

Une suite croissante et majorée est convergente.
Une suite décroissante et minorée est convergente.

Remarques

Ce théorème est fréquemment utilisé dans les exercices
Ce théorème permet de montrer qu'une suite est convergente mais, à lui seul, il ne permet pas de trouver la valeur de la limite $l$

Exemple

Un cas particulier assez fréquent est celui d'une suite décroissante et positive. Puisqu'elle est positive, elle est minorée par zéro, donc d'après le théorème précédent, elle est convergente.

Théorème (limite d'une suite géométrique)

Soit $u_{n} = q^n$ .

Si $- 1 < q < 1$ la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers 0
Si $q > 1$ la suite $\left(u_{n}\right)$ tend vers $+\infty$
Si $q\leqslant - 1$ la suite $\left(u_{n}\right)$ n'a pas de limite.

Remarque

Si $q=1$ la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante (donc convergente)

Exemple

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=0$ (suite géométrique de raison $q=\frac{2}{3} < 1$ )

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left(\frac{4}{3}\right)^{n}=+\infty$ (suite géométrique de raison $q=\frac{4}{3} > 1$ )

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