Lois à densité
Introduction
Il arrive qu'une variable aléatoire puisse prendre n'importe quelle valeur sur R ou sur un intervalle I de R. On parle alors de variable aléatoire continue.
Pour une telle variable, les événements qui vont nous intéresser ne sont plus (X=5), (X=20), etc... , mais (X⩽5), (5⩽X⩽20), etc...
1. Généralités
Définition
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I=[a;b] telle que
∫abf(x)dx=1.
On dit que X est une variable aléatoire réelle continue de densité f si et seulement si pour tout x1∈I et tout x2∈I (x1⩽x2) :
p(x1⩽X⩽x2)=∫x1x2f(x)dx
Exemple
La fonction f définie sur I=[0;2] par f(x)=2x est une fonction continue et positive sur I.
La fonction F:x⟼4x2 est une primitive de f sur I, par conséquent :
∫02f(x)dx=[4x2]02=1.
f est donc une densité de probabilité.
Soit X une variable aléatoire réelle à valeurs dans I de densité f, on a alors, par exemple :
P(1⩽X⩽1,5)=∫11,5f(x)dx.
P(1⩽X⩽1,5) est donc l'aire (en u.a.) colorée ci-dessous :
Un calcul simple montre que P(1⩽X⩽1,5)=[4x2]11,5=0,3125.
Remarques
On peut étendre cette définition aux cas où l'une ou les deux bornes a et b sont infinies.
Dans ce cas, on remplace la condition ∫abf(x)dx=1 par une condition portant sur une limite; par exemple si b vaut +∞, la condition ∫abf(x)dx=1 deviendra y→+∞lim∫ayf(x)dx=1
Comme indiqué en introduction, les événements du type (X=k) ne sont pas intéressants car pour tout k appartenant à I, p(X=k)=∫kkf(x)dx=0.
On peut employer indifféremment des inégalités larges ou strictes :
p(x1<X<x2)=p(x1⩽X⩽x2).
Définition
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X qui suit une loi de densité f sur [a;b] est le réel noté E(X) défini par :
E(X)=∫abxf(x)dx.
Exemple
Si l'on reprend l'exemple de la fonction f définie sur I=[0;2] par f(x)=2x, l'espérance mathématique est :
E(X)=∫02xf(x)dx=∫022x2dx=[6x3]02=68=34.
2. Loi uniforme sur un intervalle
Définition
On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle [a ; b] si sa densité de probabilité f est constante sur [a ; b].
Cette densité vaut alors, pour tout réel x∈[a ; b] :
f(x)=b−a1.
Exemple
La densité de la loi uniforme sur l'intervalle [0,2] est représentée ci-dessous :
Densité de la loi uniforme sur l'intervalle [0,2]
Remarque
Une primitive de la fonction x⟼b−a1 sur [a ; b] est x⟼b−ax.
On vérifie alors que :
∫abb−a1dx=[b−ax]ab=1.
Propriété
Si X suit une loi uniforme sur [a;b], alors pour tous réels c et d compris entre a et b avec c<d :
p(c⩽X⩽d)=b−ad−c.
Démonstration
En effet, si a⩽c<d⩽b alors :
p(c⩽X⩽d)=∫cdb−a1dx=b−ad−c
Théorème
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur [a;b] est :
E(X)=2a+b.
Démonstration
La fonction x⟼2(b−a)x2 est une primitive de la fonction x⟼b−ax sur [a ; b] ; par conséquent :
E(X)=∫abb−axdx
E(X)=[2(b−a)x2]ab
E(X)=2(b−a)b2−a2
E(X)=2(b−a)(b−a)(b+a)
E(X)=2a+b.
3. Loi exponentielle de paramètre lambda
Définition
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ>0 sur [0;+∞[ si sa densité de probabilité f est définie sur [0;+∞[ par :
f(x)=λe−λx.
Exemple
La densité de la loi exponentielle de paramètre λ=1,5 est la fonction f définie sur [0;+∞[ par f(x)=1,5e−1,5x.
Cette fonction est représentée ci-dessous :
Remarque
La fonction x⟼−e−λx est une primitive de la fonction x⟼λe−λx.
On vérifie alors que :
∫0+∞λe−λxdx=t→+∞lim∫0tλe−λxdx
∫0+∞λe−λxdx=t→+∞lim[−e−λx]0t
∫0+∞λe−λxdx=t→+∞lim−e−λt+1=1.
Propriété
Si X suit une exponentielle de paramètre λ sur [0;+∞[, alors pour tous réels positifs x1 et x2 :
p(x1⩽X⩽x2)=e−λx1−e−λx2
p(X⩾x1)=e−λx1.
Démonstration
p(x1⩽X⩽x2)=∫x1x2λe−λxdx
p(x1⩽X⩽x2)=[−e−λx]x1x2
p(x1⩽X⩽x2)=e−λx1−e−λx2
La seconde égalité s'obtient alors en faisant tendre x2 vers +∞.
Théorème
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ est :
E(X)=λ1
Propriété
Soient X une variable aléatoire qui suit une exponentielle de paramètre λ et x et x0 deux réels, alors :
p(X>x)=p(X>x0)(X>x+x0)
On dit qu'une loi exponentielle est « sans vieillissement ».
Commentaire
Tout d'abord, rappelons que la notation p(X>x0)(X>x+x0) indique la probabilité (conditionnelle) de l'événement (X>x+x0) sachant que l'événement (X>x0) est réalisé.
Supposons que X modélise la durée de vie d'une machine.
p(X>x) correspond à la probabilité qu'une machine « neuve » fonctionne pendant une durée supérieure ou égale à x ;
p(X>x0)(X>x+x0) est la probabilité qu'une machine, qui a déjà fonctionné pendant une durée x0, fonctionne encore pendant une durée supérieure ou égale à x.
Dans le cadre d'une loi exponentielle, ces probabilités sont égales ce qui explique l'expression « sans vieillissement ».