Théorème de Thalès
Le théorème de Thalès doit son nom au philosophe, astronome et mathématicien grec Thalès de Milet (env. 600 ans avant J.C.). S'il n'est pas l'« inventeur » de ce théorème qui était déjà connu des babyloniens, Thalès l'aurait utilisé pour mesurer la hauteur de la grande pyramide de Kheops.
Le théorème de Thalès permet de calculer des distances dans une configuration géométrique comportant des droites parallèles.
La réciproque du théorème de Thalès sert à démontrer que deux droites sont parallèles en calculant des rapports de distances.
1. Théorème de Thalès
Théorème de Thalès
Si sont cinq points tels que :
les points et les points sont alignés
les droites et sont parallèles
alors :
Remarques
Deux configurations différentes peuvent se présenter selon l'ordre des points et . Il faut être capable de repérer chacune de ces configurations dans les exercices de géométrie.
Théorème de Thalès
Remarques
Il est important de bien faire attention à l'ordre des points. On pourra s'aider en notant la correspondance entre les points. Dans les deux figures ci-dessus :
Par conséquent :
Exemple
Sur la figure ci-dessus, on sait que cm,cm et cm et que les droites et sont parallèles.
Quelle est la longueur du segment ?
les points et les points sont alignés
les droites et sont parallèles
Par conséquent, d'après le théorème de Thalès :
On remplace les longueurs dont ont connait les mesures :
L'égalité nous permet de trouver («quatrième proportionnelle») :
cm.
2. Réciproque du théorème de Thalès
Théorème (Réciproque du théorème de Thalès)
Si sont cinq points tels que les points et les points sont alignés dans le même ordre.
Si alors, les droites et sont parallèles.
Remarques
Ce théorème sert à démontrer que deux droites sont parallèles.
Si alors, les droites et ne sont pas parallèles ; cela ne résulte toutefois pas de la réciproque du théorème de Thalès mais c'est une conséquence du théorème de Thalès lui-même (en effet d'après le théorème de Thalès si les droites et étaient parallèles on aurait - voir la fiche méthode « Déterminer si deux droites sont parallèles » ).
Exemple
Dans la figure ci-dessus, on sait que cm,cm, cm et cm.
Les droites et sont-elles parallèles ?
Méthode : On calcule séparément et
(si vous n'êtes pas sûr, vérifiez à la calculatrice !) donc les droites et ne sont pas parallèles.