Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Trigonométrie

1. Mesures en radians d'un angle orienté

Dans tout le chapitre, le plan P\mathscr P est muni d'un repère orthonormé (O ;i,j)\left(O~; \vec{i} , \vec{j}\right).

Définition

Soit II le point de coordonnées (1 ;0)\left(1~; 0\right) et dd la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par II.

A tout réel xx on associe le point NN de la droite dd d'ordonnée xx puis le point MM obtenu en « enroulant » la droite dd sur le cercle trigonométrique (voir figure ci-dessous).

On dit que xx est une mesure en radians de l'angle orienté (OI,OM)\left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OM}\right)

Mesure en radians d'un angle orienté

Mesures d'un angle orienté

Remarque

  • Une infinités de points de la droite dd se superposent à MM par enroulement (en faisant plusieurs tours). Chaque angle possède une infinité de mesures qui diffèrent entre elles d'un multiple de 2π2\pi . Si xx est une mesure d'un angle, les autres mesures sont x+2π,x+4π,x+2\pi , x+4\pi , etc. et x2π,x4πx - 2\pi , x - 4\pi , etc.

    Ces différentes mesures s'écrivent x+2kπx+2k\pi avec kZk \in \mathbb{Z}

  • On note de la même façon (u,v)\left(\vec{u}, \vec{v}\right) l'angle orienté de u\vec{u} vers v\vec{v}et la mesure en radians de cet angle.

Propriété et définition (Mesure principale)

Tout angle orienté (u,v)\left(\vec{u}, \vec{v}\right) possède une unique mesure dans l'intervalle ]π ;π]\left] - \pi ~; \pi \right].

Cette mesure s'appelle la mesure principale de l'angle (u,v)\left(\vec{u}, \vec{v}\right).

Exemple

Soit un angle dont une mesure est 5π2 - \frac{5\pi }{2}. Comme 5π2]π ;π] - \frac{5\pi }{2} \notin \left] - \pi ~; \pi \right], ce n'est pas la mesure principale. Comme : 5π2=π24π2=π22π - \frac{5\pi }{2} = - \frac{\pi }{2} - \frac{4\pi }{2} = - \frac{\pi }{2} - 2\pi et π2]π ;π] - \frac{\pi }{2}\in \left] - \pi ~; \pi \right], π2 - \frac{\pi }{2} est la mesure principale de cet angle.

Mesures d'angles à connaitre

Mesures d'angles remarquables

Mesures d'angles remarquables

2. Sinus et cosinus - Équations trigonométriques

Définition

Soit MM un point du cercle trigonométrique et xx une mesure de l'angle IOM^\widehat{IOM}.

On appelle cosinus de xx, noté cosx\cos x l'abscisse du point MM.

On appelle sinus de xx, noté sinx\sin x l'ordonnée du point MM

sinus et cosinus d'un angle orienté

Sinus et cosinus

Remarques

Pour tout réel xx :

  • 1cosx1 - 1 \leqslant \cos x \leqslant 1

  • 1sinx1 - 1 \leqslant \sin x \leqslant 1

  • Comme MM appartient au cercle trigonométrique, OM=1OM=1 donc OM2=1=1OM^{2}=1=1 donc :

    sin2x+cos2x=1\sin^{2}x+\cos^{2}x=1 (sin2x\sin^{2}x étant une écriture abrégée pour (sinx)2\left(\sin x\right)^{2})

Valeurs de sinus et de cosinus à retenir

Valeurs de sinus et de cosinus

xx 00 π6\frac{\pi }{6} π4\frac{\pi }{4} π3\frac{\pi }{3} π2\frac{\pi }{2} 2π3\frac{2\pi }{3} 3π4\frac{3\pi }{4} 5π6\frac{5\pi }{6} π\pi
cosx\cos x 11 32\frac{\sqrt{3}}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 12\frac{1}{2} 00 12 - \frac{1}{2} 22 - \frac{\sqrt{2}}{2} 32 - \frac{\sqrt{3}}{2} 1 - 1
sinx\sin x 00 12\frac{1}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 32\frac{\sqrt{3}}{2} 11 32\frac{\sqrt{3}}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 12\frac{1}{2} 00
xx π6 - \frac{\pi }{6} π4 - \frac{\pi }{4} π3 - \frac{\pi }{3} π2 - \frac{\pi }{2} 2π3 - \frac{2\pi }{3} 3π4 - \frac{3\pi }{4} 5π6 - \frac{5\pi }{6}
cosx\cos x 32\frac{\sqrt{3}}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 12\frac{1}{2} 00 12 - \frac{1}{2} 22 - \frac{\sqrt{2}}{2} 32 - \frac{\sqrt{3}}{2}
sinx\sin x 12 - \frac{1}{2} 22 - \frac{\sqrt{2}}{2} 32 - \frac{\sqrt{3}}{2} 1 - 1 32 - \frac{\sqrt{3}}{2} 22 - \frac{\sqrt{2}}{2} 12 - \frac{1}{2}

Propriétés

Pour tout réel xx :

  • sin(x)=sin(x)\sin\left( - x\right)= - \sin\left(x\right)

  • cos(x)=cos(x)\cos\left( - x\right)=\cos\left(x\right)

  • sin(π+x)=sin(x)\sin\left(\pi +x\right)= - \sin\left(x\right)

  • cos(π+x)=cos(x)\cos\left(\pi +x\right)= - \cos\left(x\right)

 Angles x, -x et pi+x

Angles xx, x - x et π+x\pi+x

Formules d'addition

Pour tous réels aa et bb :

  • cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)\cos\left(a+b\right)=\cos\left(a\right) \cos\left(b\right) - \sin\left(a\right) \sin\left(b\right)

  • sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)\sin\left(a+b\right)=\sin\left(a\right) \cos\left(b\right)+\cos\left(a\right) \sin\left(b\right)

Théorème

Soit aa un réel fixé.

Les solutions de l'équation cos(x)=cos(a)\cos\left(x\right)=\cos\left(a\right) sont les réels de la forme :

a+2kπa+2k\pi ou a+2kπ - a+2k\pi kk décrit Z\mathbb{Z}

Exemple

On cherche à résoudre l'équation cos(x)=0\cos\left(x\right)=0

On sait que cos(π2)=0\cos\left(\frac{\pi }{2}\right)=0 ce qui fournit une solution de l'équation mais permet aussi d'écrire l'équation sous la forme cos(x)=cos(π2)\cos\left(x\right)=\cos\left(\frac{\pi }{2}\right)

D'après le théorème ci-dessus les solutions sont de la forme :

x=π2+2kπx=\frac{\pi }{2}+2k\pi ou x=π2+2kπx= - \frac{\pi }{2}+2k\pi avec kZk \in \mathbb{Z}

Théorème

Soit aa un réel fixé.

Les solutions de l'équation sin(x)=sin(a)\sin\left(x\right)=\sin\left(a\right) sont les réels de la forme :

a+2kπa+2k\pi ou πa+2kπ \pi - a+2k\pi kk décrit Z\mathbb{Z}