Trigonométrie
1. Mesures en radians d'un angle orienté
Dans tout le chapitre, le plan P est muni d'un repère orthonormé (O ;i⃗,j⃗).
Définition
Soit I le point de coordonnées (1 ;0) et d la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par I.
A tout réel x on associe le point N de la droite d d'ordonnée x puis le point M obtenu en « enroulant » la droite d sur le cercle trigonométrique (voir figure ci-dessous).
On dit que x est une mesure en radians de l'angle orienté (OI,OM)
Mesures d'un angle orienté
Remarque
Une infinités de points de la droite d se superposent à M par enroulement (en faisant plusieurs tours). Chaque angle possède une infinité de mesures qui diffèrent entre elles d'un multiple de 2π. Si x est une mesure d'un angle, les autres mesures sont x+2π,x+4π, etc. et x−2π,x−4π , etc.
Ces différentes mesures s'écrivent x+2kπ avec k∈Z
On note de la même façon (u⃗,v⃗) l'angle orienté de u⃗ vers v⃗et la mesure en radians de cet angle.
Propriété et définition (Mesure principale)
Tout angle orienté (u⃗,v⃗) possède une unique mesure dans l'intervalle ]−π ;π].
Cette mesure s'appelle la mesure principale de l'angle (u⃗,v⃗).
Exemple
Soit un angle dont une mesure est −25π. Comme −25π∉]−π ;π], ce n'est pas la mesure principale. Comme : −25π=−2π−24π=−2π−2π et −2π∈]−π ;π], −2π est la mesure principale de cet angle.
Mesures d'angles à connaitre
Mesures d'angles remarquables
2. Sinus et cosinus - Équations trigonométriques
Définition
Soit M un point du cercle trigonométrique et x une mesure de l'angle IOM.
On appelle cosinus de x, noté cosx l'abscisse du point M.
On appelle sinus de x, noté sinx l'ordonnée du point M
Remarques
Pour tout réel x :
−1⩽cosx⩽1
−1⩽sinx⩽1
Comme M appartient au cercle trigonométrique, OM=1 donc OM2=1=1 donc :
sin2x+cos2x=1 (sin2x étant une écriture abrégée pour (sinx)2)
Valeurs de sinus et de cosinus à retenir
| x | 0 | 6π | 4π | 3π | 2π | 32π | 43π | 65π | π |
| cosx | 1 | 2√3 | 2√2 | 21 | 0 | −21 | −2√2 | −2√3 | −1 |
| sinx | 0 | 21 | 2√2 | 2√3 | 1 | 2√3 | 2√2 | 21 | 0 |
| x | −6π | −4π | −3π | −2π | −32π | −43π | −65π |
| cosx | 2√3 | 2√2 | 21 | 0 | −21 | −2√2 | −2√3 |
| sinx | −21 | −2√2 | −2√3 | −1 | −2√3 | −2√2 | −21 |
Propriétés
Pour tout réel x :
sin(−x)=−sin(x)
cos(−x)=cos(x)
sin(π+x)=−sin(x)
cos(π+x)=−cos(x)
Angles x, −x et π+x
Formules d'addition
Pour tous réels a et b :
cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b)
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
Théorème
Soit a un réel fixé.
Les solutions de l'équation cos(x)=cos(a) sont les réels de la forme :
a+2kπ ou −a+2kπ où k décrit Z
Exemple
On cherche à résoudre l'équation cos(x)=0
On sait que cos(2π)=0 ce qui fournit une solution de l'équation mais permet aussi d'écrire l'équation sous la forme cos(x)=cos(2π)
D'après le théorème ci-dessus les solutions sont de la forme :
x=2π+2kπ ou x=−2π+2kπ avec k∈Z
Théorème
Soit a un réel fixé.
Les solutions de l'équation sin(x)=sin(a) sont les réels de la forme :
a+2kπ ou π−a+2kπ où k décrit Z
