Exemple

Au bonneteau, deux cartes noires et une carte rouge sont présentées, faces cachées, sur la table.

Le maître du jeu manipule les cartes rapidement et un joueur doit retrouver la carte rouge.

On suppose que le joueur choisit une carte complètement au hasard.

On a affaire à une loi de Bernoulli de paramètre $p=\frac{1}{3}$.

La probabilité de succès est : $p\left(S\right)=p=\frac{1}{3}$ et la probabilité d'échec $p\left(\overline S\right)=1 - p=\frac{2}{3}$

Exemple

Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules blanches. On tire 3 boules au hasard.

• Si l'épreuve s'effectue sans remise, les tirages ne sont ni identiques, ni indépendants. En effet, le fait d'avoir retiré une boule lors du premier tirage fait que le second tirage n'est pas identique au premier.

• Si l'épreuve s'effectue avec remise, on pourra, par contre, considérer que les tirages sont identiques et indépendants. On a donc bien, dans ce cas, un schéma de Bernoulli

Exemple

On reprend l'exemple précédent : tirage au hasard et avec remise de 3 boules parmi 5 boules comportant 2 boules rouges et 3 boules blanches. On considère la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de boules rouges obtenues. La variable $X$ sur une loi binomiale de paramètres 3 (nombre d'épreuves) et $\frac{2}{5}$ (probabilité d'obtenir une boule rouge lors d'une épreuve).

Ce schéma peut être représenté par l'arbre suivant :

Grâce à l'arbre on voit que :

• la probabilité d'avoir 3 succès (c'est à dire 3 boules rouges) est $p\left(X=3\right) =\left(\frac{2}{5}\right)^{3}=\frac{8}{125}$

• il y a 3 chemins qui correspondent à 2 succès ($SS\overline S, S\overline SS, \overline SSS$). La probabilité d'obtenir 2 boules rouges est donc :

  $p\left(X=2\right) =\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\times \frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\times \frac{3}{5}$$+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\times \frac{3}{5}$$=3\times \left[\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\times \frac{3}{5}\right]=\frac{36}{125}$

• il y a également 3 chemins qui correspondent à un unique succès ($S\overline S\overline S, \overline SS\overline S, \overline S\overline SS$). La probabilité d'obtenir une unique boule rouge est donc :

  $p\left(X=1\right) = \frac{2}{5}\times \left(\frac{3}{5}\right)^{2}+ \frac{2}{5}\times \left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$+ \frac{2}{5}\times \left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$=3\times \left[ \frac{2}{5}\times \left(\frac{3}{5}\right)^{2}\right]=\frac{54}{125}$

• la probabilité de n'avoir aucune boule rouge est $p\left(X=0\right) =\left(\frac{3}{5}\right)^{3}=\frac{27}{125}$

La loi de $X$ est donc donnée par le tableau suivant :

On vérifie bien que $\frac{27}{125}+\frac{54}{125}+\frac{36}{125}+\frac{8}{125}=1$

Exemple

Dans l'exemple précédent, la variable X suit une loi binomiale $\mathscr{B} \left(3 ; \dfrac{2}{5}\right)$.

Son espérance mathématique est donc $E\left(X\right)=3\times \frac{2}{5}=\frac{6}{5}=1,2$

On vérifie que l'on obtient bien le même résultat en utilisant le tableau de la loi de $X$ et la définition de l'espérance mathématique :

$E\left(X\right)=0\times \frac{27}{125}+1\times \frac{54}{125}$$+2\times \frac{36}{125}+3\times \frac{8}{125}$$=\frac{150}{125}=1,2$

Exemple

On reprend le même exemple que précédemment. On a vu, par exemple, qu'il y avait 3 chemins correspondant à 2 succès. On a donc $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}= 3$.

Exemple

On lance 8 fois une pièce équilibrée et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l'on obtient Pile.

$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=\frac{1}{2}$.

La probabilité d'obtenir 4 fois Pile (par exemple) est :

$p\left(X=4\right) = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{4}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{4}$

$\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix}= 70$   (à la calculatrice)

Donc :

$p\left(X=4\right)=70\times \frac{1}{16}\times \frac{1}{16}=\frac{70}{256}=\frac{35}{128}$.