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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Les règles de calculs, fractions, puissances

1 - Vocabulaire

Définitions

  • La somme de deux termes est le résultat de l'addition de ces nombres.

  • La différence de deux termes est le résultat de la soustraction de ces nombres.

  • Le produit de deux facteurs est le résultat de la multiplication de ces nombres.

Exemples

  • 5=3+25 = 3+2 : 5\quad 5 est la somme des termes 33 et 22.

  • 1=3−21 = 3 - 2 : 1\quad1 est la différence des termes 33 et 22.

  • 6=3×26 = 3\times 2 : 6\quad6 est le produit des facteurs 33 et 22.

Remarques

On regroupe souvent somme et différence sous le même terme : somme algébrique. En effet, une soustraction d'un nombre positif correspond à une addition d'un nombre négatif.

Lorsqu'une expression contient plusieurs opérations, il s'agit :

  • d'une somme algébrique si la dernière opération effectuée (la moins prioritaire) est une addition ou une soustraction. Par exemple : 2x−3y2x - 3y;

  • d'un produit si la dernière opération effectuée (la moins prioritaire) est une multiplication. Par exemple : 3x(y−3)3x\left(y - 3\right).

2 - Priorités de calculs

Propriétés

  • On effectue d'abord les calculs des expressions entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

  • Puis on effectue les puissances avant les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions.

  • Puis on effectue d'abord les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.

  • Enfin, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.

    Dans une somme algébrique, on peut également regrouper ensemble les termes de même signe.

Exemples

  • A=5−3×7+2×(4−1)A=5 - 3\times 7+2\times \left(4 - 1\right)

    On effectue d'abord les parenthèses :

    A=5−3×7+2×3A=5 - 3\times 7+2\times 3

    Puis les multiplications :

    A=5−21+6A=5 - 21+6

    Puis les opérations restantes (en regroupant les termes positifs par exemple) :

    A=5−21+6=11−21=−10A=5 - 21+6=11 - 21= - 10

  • Attention à bien tenir compte de la priorité des opération même si l'expression contient des lettres. Par exemple :

    B=5+(7−4)×xB=5+\left(7 - 4\right)\times x

    On peut effectuer le calcul dans la parenthèse :

    B=5+3×x=5+3xB=5+3\times x=5+3x

    On ne peut pas effectuer l'addition 5+35+3 car la multiplication 3×x3\times x est prioritaire. On ne peut donc pas aller plus loin.

3 - Fractions

Propriétés

  • Pour additionner (ou soustraire) des fractions, on ajoute (ou on soustrait) leurs numérateurs, après les avoir mises au même dénominateur.

  • Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en simplifiant au maximum.

  • Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.

Exemples

  • A=34−25A=\frac{3}{4} - \frac{2}{5}

    A=3×54×5−2×45×4A=\frac{3\times 5}{4\times 5} - \frac{2\times 4}{5\times 4}

    A=1520−820A=\frac{15}{20} - \frac{8}{20}

    A=720A=\frac{7}{20}

  • B=34×25B=\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}

    B=3×24×5B=\frac{3\times 2}{4 \times 5}

    B=3×22×2×5B=\frac{3\times 2}{2\times 2\times 5}

    B=310B=\frac{3}{10}

  • C=34÷25C=\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}

    C=34×52C=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}

    C=3×54×2C=\frac{3\times 5}{4\times 2}

    C=158C=\frac{15}{8}

4 - Puissances

Propriétés

  • Produit : an×am=an+ma^{n}\times a^{m}=a^{n+m}

  • Inverse : 1am=a−m\frac{1}{a^{m}}=a^{ - m}

  • Quotient :anam=an−m\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n - m}

  • Puissance de puissance :(an)m=an×m\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\times m}

  • Exposants identiques :an×bn=(ab)na^{n}\times b^{n}=\left(ab\right)^{n}

Exemples

  • A=32×33=32+3=35A=3^{2}\times 3^{3}=3^{2+3}=3^{5}

  • B=232−4=23−(−4)=27B=\frac{2^{3}}{2^{ - 4}}=2^{3 - \left( - 4\right)}=2^{7}

  • C=(102)−3=10−6C=\left(10^{2}\right)^{ - 3}=10^{ - 6}

Remarques

  • Ces formules peuvent, bien sûr, être utilisées dans les deux sens. Par exemple, pour passer de 1am\frac{1}{a^{m}} à a−ma^{ - m} ou pour passer de a−ma^{ - m} à 1am\frac{1}{a^{m}}

  • Cas particulier de la dernière formule :

    (−a)n=(−1×a)n=(−1)n×an\left( - a\right)^{n}=\left( - 1\times a\right)^{n}=\left( - 1\right)^{n}\times a^{n}

    Donc pour nn impair : (−a)n=−an\left( - a\right)^{n}= - a^{n} car alors (−1)n=−1\left( - 1\right)^{n}= - 1

    Pour nn pair : (−a)n=an\left( - a\right)^{n}=a^{n} car alors (−1)n=1\left( - 1\right)^{n}=1

Définition

On appelle écriture scientifique d'un nombre positif, la notation a×10na\times 10^{n} avec nn entier relatif et 1⩽a<101 \leqslant a < 10.

Remarque

L'encadrement 1⩽a<101 \leqslant a < 10 signifie que l'écriture décimale de aa comporte un et un seul chiffre non nul avant la virgule.

Exemple

D=5×105×10−2×72×107 D=\frac{5\times 10^{5}\times 10^{ - 2}\times 7}{2\times 10^{7}}

Donner l'écriture scientifique de DD, puis son écriture décimale.

On regroupe les puissances de 10 d'un coté et les nombres restants de l'autre:

D=5×72×105×10−2107 D=\frac{5\times 7}{2}\times \frac{10^{5}\times 10^{ - 2}}{10^{7}}

On simplifie :

D=352×103107 D=\frac{35}{2}\times \frac{10^{3}}{10^{7}}

D=17,5×10−4 D=17,5\times 10^{ - 4}

L'écriture scientifique de DD est :

D=1,75×10−3 D=1,75\times 10^{ - 3}

L'écriture décimale de DD est :

D=0,00175 D=0,00175

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